Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
x
7.006: a) f ( x)
� e �sin
x
Stamfunktionen kan findes på grafregneren, men den kan også udregnes ved partiel integration:
x
x
x
x
x
x
e �sin x dx � e �sin
x � e �cos
x dx � e �sin
x � e �cos
x � e �sin
x
� � � � � � � � �dx
Sidste led på højresiden rykkes over på venstresiden af lighedstegnet, så man har:
x
2 ��
�e �sin
x�
x
� �e �sin
x�dx
dx � e
e
�
x
x
�sin
x � e
�sin
x � e
2
x
x
� cos x
� cos x
�
Der kunne evt. tilføjes en konstant til sidst, men det er ikke nødvendigt, da der blot efterspørges ”en”
stamfunktion.
2
7.007: f ( x)
� x � 5x
� 6 g(
x)
� 2x
� 6
a) Først findes skæringspunkternes mellem grafernes førstekoordinater:
f ( x)
� g(
x)
�
x
x
2
2
x �
� 5x
� 6 � 2x
� 6
� 7x
� 0
�x � 7�
� 0
�
�
�
x � 0 � x � 7
Da parablen vender benene opad (positiv a-værdi), må grafen for g ligge øverst i området mellem
skæringspunkterne, dvs. at arealet af punktmængden mellem graferne er:
0
7
7
7
2
2
�g( x)
� f ( x)
�dx � � �2x � 6 � �x � 5x
� 6��dx
� �� x � 7x�
A � �
�
� 1
��
� 7
� 3
3
7 2 � 343
� � 7 � � 0 �
2 � 6
0
0
�
dx �
�
�
�
x
7.008: f ( x)
� e � 4x
a) Man kan bruge grafregneren til at tegne en skitse og finde skæringspunkter med x-aksen. Men
man kan også lave en lille analyse af funktionen:
x
f '(
x)
� e � 4
x
f ''(
x)
� e � 0
Nulpunkterne bestemmes for funktionen og den afledede funktion:
Funktionen f:
solve( e 4x
0,
x)
x
� � hvor grafregneren giver to løsninger (og advarer om flere):
x = 0,35740 eller x = 2,15329
Den afledede funktion f’:
x
0 � e � 4
e
x
� 4
x � ln 4
Den afledede funktion har altså ét nulpunkt, og da den dobbelt afledede funktion er positiv, må
funktionen have minimum her.
1
3
x
3
�
7
2
7
2 �
x
�
�
0
�