Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
December 2009: Delprøven UDEN hjælpemidler
�1� 9.087: a�� �
�5� P(3,8)
��5� Da linjen l er parallel med den angivne vektor, vil en normalvektor til linjen være: nl�a�� �
� 1 �
Man kender nu både et punkt på linjen og en normalvektor, og dermed bliver linjens ligning:
�5� x �3 �1� y �8 � 0 � �5x �15 � y �8 � 0 � y � 5x � 7
� � � �
Alternativ metode: Da linjen er parallel med den angive vektor, hvis retning er 1 til højre og 5 op, vil
hældningen for linjen altså være 5. Da man kender både punkt og hældning får man ligningen:
y � 8 � 5� x � 3 � y � 5x �15 � 8 � y � 5x � 7
� �
x
9.088: f x � x � e
2 dy y
( )
� � y
dx x
2
Det undersøges ved indsættelse, om funktionen er en løsning til differentialligningen. Hvis man får et
udsagn, der er sandt for alle x-værdier (en ”identitet”), er funktionen en løsning. Hvis man får et
udsagn, der er falsk eller kun sandt for nogle x-værdier, er funktionen IKKE en løsning.
� dy �
For at kunne indsætte skal man have fundet den afledede funktion � f ' ( x)
� � :
� dx �
Funktionen er en produktfunktion, og den afledede funktion bestemmes:
x 2 x
f ' ( x)
� 2x
�e
� x �e
Nu kan der indsættes i differentialligningen:
9.089:
9.090:
2x
� e
x
x
� x
2
2
� e
x
x
2 �
�
2 x �x � e � 2 x
� �x � e �
x
x
2
x
�
2x
� e � x � e � 2x
� e � x � e
Det ses, at der står det samme på begge sider af lighedstegnet, så man har altså et udsagn, der er
sandt for alle x-værdier (en identitet), og dermed er f en løsning til differenti alligninge n
9.091: Grafen/funktionen skal opfylde følgende:
1) Funktionen har Dm �
2) Grafen skal gå gennem punkterne (0,5) og (10,-1).
3) Funktionen skal være voksende i intervallet [3,7].
4) Funktionen skal være aftagende i intervallerne ]-∞,3] og [7,∞[.
Et eksempel der opfylder dette er: