Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
August 2010: Delprøven MED hjælpemidler
9.141:
9.142:
� x��0���3� � � � � � �
9.143: l :
�
y
�
�
�
1
�
� t �
�
1
�
� z��6��2� � � � � � �
� x��9��3�
� � � � � �
m :
�
y
�
�
�
1
�
� s �
�
2
�
De to linjer skærer i punktet P.
� z��7��5�
� � � � � �
a) De spidse vinkel mellem de to linjer er den spidse vinkel mellem deres retningsvektorer:
r1�r2 cosv
�
r1 � r2
�
� �3��3�
� � � �
�
1
�
�
�
2
�
� 2 � � 5� � � � �
2 2 2 2 2 2
�3 �1 � 2 � 3 � 2 � 5
�9 � 2 �10
� �
14 � 38
3
14 � 38
9.144:
9.145:
9.146:
� �
�1
� 3 �
v � cos � � � 82,5265651517�
� 14 � 38 �
b) Koordinatsættet til P bestemmes ved at sætte koordinaterne for de to linjer lig hinanden:
�3t � 9 � 3s
1� t �1 � 2s
6 � 2t � 7 � 5s
Dette ligningssystem kan enten løses på TI n’spire ved:
Eller man kan isolere t i den anden ligning og indsætte den i den første:
�3� 2s � 9 �3s � �9s � 9 � s � � 1
� �
Da det er oplyst, at der ER et skæringspunkt mellem de to linjer, har man ikke brug for også at finde
t-værdien, men kan blot indsætte i den anden linjes parameterfremstilling for at finde P:
� x � �9 � � 3� � 6 �
� � � � � � � �
m: �
y
�
�
�
1
�
�1� �
2
�
�
�
�1
�
Dvs. at P�6, � 1,2 �
� z � �7 � � 5� � 2 �
� � � � � � � �
c) En normalvektor for den plan, som de to linjer udspænder, bestemmes ved at tage
krydsproduktet af de to linjers retningsvektorer:
� �3� � 3� � 1�5 � 2� 2 � � 1 �
� � � � � � � �
n �
�
1
�
�
�
2
�
�
�
2� 3� ��3� �5 �
�
�
21
�
� 2 � �5 � � �3� 2 �1�3 � � �9�
� � � � � � � �
Man kan enten tage punktet P eller et punkt fra en af de to linjer, når man skal bruge et punkt i
planen for at bestemme en ligning. Her benyttes punktet (0,1,6) fra den første linje:
1� x � 0 � 21� y �1 �9 � z � 6 � 0 � x � 21y � 21� 9z � 54 � 0 � x � 21y �9z � 33 � 0
� � � � � �