Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
dS t
�12 � 4�
0,
184
dt
� 0, 00575�
4�
�
Dvs. at løgfrøhaletudserne vokser med 0 , 184 cm pr.
døgn , når de er 4 cm lange.
b) Den maksimale længde er 12 cm, og det er oplyst, at længden begynder ved 0,5cm.
Da det er en logistisk ligning, er grafen en parabel med benene nedad (ses på udtrykket, hvis der
ganges ind i parentesen), og den maksimale væksthastighed fås ved halvdelen af den maksimale
længde (der ifølge ligningen aldrig nås), dvs. ved 6 cm.
dSt
St
� 0,
5 : � 0,
03306
dt
dSt
St
� 6 : � 0,
207 Toppunktet
dt
dSt
St
� 12 : � 0
dt
Ud fra disse tre punkter kan en skitse tegnes:
Væksthastighed i cm pr.
døgn
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
dy
� � � � � ligger på grafen for f.
dx
a) For at bestemme tangentligningen skal man kende et punkt (og P’s koordinater er allerede
opgivet) og hældningen, der findes ved at indsætte punktets koordinater i differentialligningen:
dy
2
� 2� �2 �9� � � 10
dx
Hermed er tangentligningen:
y � 2 � �10 x � 2 � y � �10x � 22
2
8.012: Dm� f � R og f er løsning til y �x 9 �, y 0 og P�
2,2�
� �
Løgfrøhaletudser
0 5 10
Længde i cm
b) Da y > 0 gælder:
dy
2
� 0 � x �9 � 0 � x��
3
dx
� dy �
Desuden afhænger fortegnet for den afledede funktion � f '( x) eller �også
kun af x-værdien.
� dx �
2
Grafen for g( x) �x�9er en parabel med benene opad, så mellem nulpunkterne er fortegnet for
funktionsværdierne negativt. Dermed fås: