Løsning til røde vejledende eksamensopgaver - szymanski spil

Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Brætspillene: Sportsnørd, Ashram og MIR
Da funktionen er et tredjegradspolynomium, kan der højst være 3 skæringer med x-aksen, og
� 2, 0 , 2,
0 og 4,
0
grafregneren har altså fundet alle 3, der er � � � � � �
b) Det skæringspunkt P, der har den mindste førstekoordinat, er P(-2,0).
En ligning for tangenten i dette punkt skal bestemmes, så der mangler en hældning:
3 2
f '(
x)
� x � 2x
�1
4
3 2
f '(
�2)
� � �� 2�
� 2�
�� 2��
1 � 3 � 4 �1
� 6
4
Hermed er tangentens ligning:
y � 0 � 6�
x � � 2 � y � 6x
�
� � ��
12
c) Lad Q(x0,y0) være røringspunktet for tangenten t2. Der er 2 måder at bestemme tangentens
hældning på.
Første måde: Da tangenten går gennem både P(-2,0) og Q(x0,y0), er dens hældning:
y0
� 0 y0
a � �
x0
� �� 2�
x0
� 2
1 3 2
x0
� x0
� x0
� 4
Og da Q ligger på grafen for f(x), kan y0 erstattes med: a �
4
x � 2
Anden måde: Den afledede funktions værdi i røringspunktets førstekoordinat er pr. definition
3 2
tangentens hældning, så: a � f '( x0
) � x0
� 2 � x0
�1
4
Da tangentens hældning (selvfølgelig) skal være den samme uanset fremgangsmåde, kan de 2 udtryk
sættes lig hinanden og løses med ”solve” på grafregneren:
1 3 2
x � x � x � 4
4
3 2
solve( � x � 2 � x �1,
x)
, der giver x = 3 eller x = -2, selvom x = -2 ikke kan være
x � 2 4
en løsning, da den ikke er med i grundmængden, da nævneren i brøken bliver 0. Denne løsning ville
dog også bare svare til den tangent, der allerede kendes.
Så det er den anden løsning, der kan bruges, og for at finde koordinatsættet indsættes:
1 3 2 27 36 4 5
f ( 3)
� �3
� 3 � 3 � 4 � � � � �
4
4 4 4 4
� 5 �
Hermed er røringspunktets koordinatsæt �3
; � �
� 4 �
13 2 40
6.002: O(
x)
� � � x �
3 x
13 2 40 52�
a) O ( 2)
� � � 2 � � � 20 � 74,
4543
3 2 3
Dvs. at en radius på 2dm vil give en overflade på
74, 5dm
For at finde den radius, der giver den mindste overflade, ses på den afledede funktion:
2
0