CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN Y RAZÓN DE CAMBIO
Ejemplo.
El director de una determinada empresa editorial ha observado que si fija el precio de un
determinado libro $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el
precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada
libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea
máximo? ¿Cuál es el valor de dicho ingreso?
Planteamiento.
¿Cómo crees que se calculan los ingresos?
Los ingresos se calculan multiplicando el precio de articulo vendidos, así
I = (20) (10000), donde I = ingreso
Supongamos que ‘x’ representa el numero de pesos en que se incrementa el precio del
libro, entonces.
20 + x es el nuevo precio del libro
400 x
es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que
aumenta el precio
10,000 – 400x es el nuevo numero de ejemplares vendidos.
Entonces, la función que representa el ingreso en términos del numero de pesos en que
se aumenta el precio del libro, es
I (x) = (20 + x) (10,000 – 400x)
Esta función, I(x), recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que se
requiere optimizar.
Solución
Ahora, se debe aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la
función resultante.
La derivada de la función I(x), es
I’ (x) = (1) (10,000 – 400x) – 400 (20 + x)
o sea I’ (x) = 10,000 – 400x – 8,000 – 400x
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