CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

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1.2.2 REGLA DE LA CADENA Las reglas de la derivación presentadas en las secciones anteriores se pueden usar solamente para sumar, restar productos y cocientes de expresiones de la forma x donde n es un número entero . 2 3 ( x + 1) 2 Es claro que Dx ( x + 1) Si cambiamos la forma de la expresión, entonces; 2 3 6 4 2 y = ( x + 1) = x + 3x + 3x + 1 y Dxy = 6x 5 + 12x 3 + 6x , factorizando Dxy = 6x (x 2 + 1) 2 Por lo tanto Dxy (x 2 + 1) 3 = 6x (x 2 + 1) 2 2 Este desarrollo es muy complicado para potencias mayores como por ejemplo ( x + 1) entonces es conveniente tener métodos más sencillos para calcular la derivada. El que se usa en este caso parte de expresar una función de x , recordando que si f y g son funciones tales que: y = f (u) (1) u = g(x) (2) Ahora bien si g (x) esta en el dominio de f entonces la podemos escribir y = f(u) = f [g(x)] es decir, y es una función de x, esto último es la función compuesta f ó g, podemos notar que la expresión 2 3 y = ( x + 1) puede expresarse de la manera siguiente. y = u 3 y u = x 2 + 1 Si se pudiera encontrar una regla general para derivar f [g(x)], entonces se podría aplicar 2 3 a y = ( x + 1) como caso especial y también a cualquier expresión de la forma y = [f(x) n ] donde n debe ser un número entero. Para dar una idea de tipo de regla esperada regresemos a las ecuaciones 1 y 2 y = f(u), u = g(x) queremos encontrar una fórmula para la derivada dy/dx de la función compuesta dada por y = f [g(x)] . Si f y g son derivables, entonces utilizando la notación de las diferenciables tenemos 42 3 10
dy dx du = f '( u) y = g'( x) dx Considerando como producto 43 dy ⋅ du y tratando las derivadas como cocientes diferenciables llegamos a la siguiente regla. dy dx = dy du ⋅ du dx = f '( u) ⋅ g '( x) 2 3 notamos que esta proporciona la derivada correcta de y = ( x + 1) escribiendo 3 2 y = u y u = x + 1 y utilizando la regla tenemos: dy dx dy du = x du dx 2 2 . = ( 3u )( 2x) = 6x( + No se ha demostrado la citada regla, se ha planteado el siguiente teorema en la que se supone que las variables se eligen de manera que la función compuesta f ó g, esta definida y que si g tiene la derivada en x entonces f tiene derivada en g(x). REGLA DE LA CADENA. Si y = f(u), u = g(x), y las derivadas dy/du y du/dx existen ambas, entonces la función compuesta definida por y = f [g(x)] tiene una derivada dada por: Ejemplos. Sea dx dy dx = dy du ⋅ du dx = f '( u) ⋅ g '( x) = f ' du dx 1) 2 [ g( x) ] g' ( x) 2 5 y = ( 3x − 7x + 1) encontrar dy/dx utilizando la regla de la cadena. dy 4 2 4 dy du = ⋅ du dx = (5u )( 6x − 7) = 5( 3x − 7x + 1) ( 6x − 7)
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La derivada nos permite resolver to
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