CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

g) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL a u
sea y = a u en donde u = f(x)
A la exponencial se le aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación,
ln y = u ln a y se deriva en forma implícita, desarrollamos el primer miembro con la
fórmula (2) y el segundo miembro con la derivada de un producto.
y'
y
⎛ 1 ⎞
= u ⎜ ⎟ +
⎝ a ⎠
ln a
u'
y '
= ln a u'
despejamos y’ = y ln a u’
y
Como y = a u . Entonces:
Ejemplo. Derivar y = 10
( 5 6)
2
x + x−
2
u = x + 5x
− 6
u ' = 2x
+ 5
y'=
10
( 5 6)
2
x + x−
y’ = (2x + 5) 10
(ln10)(
2x
+ 5)
( 2
x −5x
−6)
y’(a u ) = a u ln a u’ ecuación (3)
ln 10
h) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e u
Sea y = e u en donde u = f(x) de la ecuación (3)
y’(a u ) = a u ln a u’ hacemos a = e queda
y’(e u ) = e u ln e u’
Como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es uno, ln e = 1 Entonces:
y’(e u ) = e u u’ ecuación (4)
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