CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

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-La función f es una función constante, para cualquier valor de x, f(x) = 4, así que cuando x se aproxima a 2, f (x) se aproxima a 4. Considerando lo anterior, ¿cuál es el límite de f (x) = 4 cuando x tiende a 2? Verificamos que 4 = 4 lim x→2 A partir del resultado anterior haremos la siguiente generalización: Si c es una constante, entonces lim c = c para cualquier número real a x→a Hemos hecho una generalización apoyándonos en la visualización de la gráfica. En otras ocasiones hemos formulado enunciados generales a partir del examen de casos particulares. Estos enunciados generales deben demostrarse rigurosamente para ser aceptados como verdaderos. En los cursos de bachillerato no llevaremos a cabo demostraciones rigurosas pero estaremos concientes de su necesidad. Limite de la Suma, la Diferencia, el Producto y el Cociente de Dos Funciones. Si conocemos los límites de dos funciones f(x) y g(x), cuando x → a, podemos determinar los límites de la suma, la diferencia, el producto y el cociente de f(x) y g(x) (siempre que el límite del divisor no sea igual a cero). Estudiemos el siguiente ejemplo: Ejemplo. 2 + Sean f( x) = x 1 y lim x→2 f( x) = 5 y g( x) = 8 lim x→2 3 g ( x) = x , entonces Obtengamos el límite de la suma de f(x) y g(x). lim f ( x) + g( x) = lim( x x→2 x→2 2 + 1+ x 3 ) 174
El segundo miembro de la igualdad anterior es el límite de un polinomio. Ya sabemos calcularlo. Evaluamos la función para x = 2 y obtenemos: lim[ f ( x) + g( x)] = lim( x x→2 x→2 2 3 + 1+ x ) = 13 Si, por otra parte sumamos los límites de f(x) y g(x), obtenemos: lim f ( x) x →2 Entonces, + x→2 lim g( x) = 5 + 8 = 13 lim f ( x) + g( x) = lim f ( x) + lim g( x) x→ 2 x→2 Examinando más casos particulares podríamos formular la siguiente conjetura: Suponiendo que los límites de las funciones f(x) y g(x) cuando x → a son ciertos números L y M respectivamente, la expresión general de la propiedad que encontramos en el ejemplo anterior, es la siguiente: lim[ f ( x) + g( x)] = L + M x→a Esta propiedad puede ser demostrada rigurosamente, cosa que dejaremos para cursos de licenciatura. La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones f(x), g(x) y las que resultan de varias operaciones con ellas. f(x)= x 2 + 1 10 f(x) 0 -5 5 a) x 175 10 -10 g(x) b) g(x) = x 3 x
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Una bola sube verticalmente alcanza
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Graficando f (x) = x 3 - 4x - 5 con
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Posición límite de las rectas sec
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Ejercicios de aplicación. 4 2 a) S
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1. Calcula f ’ , f ’’ y f ’
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Ejemplo. Derivar 5x + y 2 2 − xy
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Derivar: ( x) f = 7sec x 3 y ´ = 7
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cos y y’ = u’ despejamos y u' c
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despejando u′ = sec y ′ (1) y 2
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Para la solución de los problemas
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La gráfica queda como se muestra a
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Ahora, observa nuevamente la gráfi
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Observa la tabla y la gráfica para
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Planteamiento. El recipiente tiene
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