CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

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g) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL a u sea y = a u en donde u = f(x) A la exponencial se le aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación, ln y = u ln a y se deriva en forma implícita, desarrollamos el primer miembro con la fórmula (2) y el segundo miembro con la derivada de un producto. y' y ⎛ 1 ⎞ = u ⎜ ⎟ + ⎝ a ⎠ ln a u' y ' = ln a u' despejamos y’ = y ln a u’ y Como y = a u . Entonces: Ejemplo. Derivar y = 10 ( 5 6) 2 x + x− 2 u = x + 5x − 6 u ' = 2x + 5 y'= 10 ( 5 6) 2 x + x− y’ = (2x + 5) 10 (ln10)( 2x + 5) ( 2 x −5x −6) y’(a u ) = a u ln a u’ ecuación (3) ln 10 h) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e u Sea y = e u en donde u = f(x) de la ecuación (3) y’(a u ) = a u ln a u’ hacemos a = e queda y’(e u ) = e u ln e u’ Como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es uno, ln e = 1 Entonces: y’(e u ) = e u u’ ecuación (4) 56
Ejemplo. Derivar 3 x y = e donde u = x 3 Por lo tanto aplicando la formula resulta 57 x 3 2 y ' = e ( 3x ) = Con base a los conceptos de funciones logarítmicas y exponenciales, deriva las siguientes funciones para reafirmar tu conocimiento: a) y = ln (3x + b) b) y = ln (3x 2 + b) c) y = ln (ax + 2) d) y = ln (2x n ) e) y = ln (2x 3 – 3x 2 + 5) f) 3x ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 6 sol. y’ = 3x + b sol. y’ = sol. y’ = n sol. y’ = x sol. y’ = 3 y = log sol. y’ = x 3 g) y = ln sol. y’ = x 2 6x 2 3x + b a ax + 2 e x 6x( x −1) 3 2 2x − 3x + 5 log e x 6 2 x ( 3 + x ) h) y = ln 2 3 − 2x −2x sol. y’ = 2 3 − 2x i) y = 2x ln x sol. y’ = 2 + 2 ln x j) y = e 2x sol. y’ = 2 e 2x 3
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Planteamiento. El recipiente tiene
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La derivada nos permite resolver to
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) Bosqueja la gráfica de la funci
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