CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

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Analiza el siguiente ejemplo correspondiente a otra función exponencial. Ejemplo. El estudiante Daniel H. ganó $1,000.00 en un concurso y decidió invertirlos por un año a una taza de interés anual del 15% = 0.15 compuesto mensualmente. Si el interés es compuesto m veces al año, el capital o monto compuesto después de un año está dado por la fórmula. Si es (1) sustituimos a m por 12 obtenemos m ⎛ 0. 15 ⎞ A = 1000 ⎜1+ ⎟ ( 1 ) ⎝ m ⎠ 12 ⎛ 0. 15 ⎞ A = 1000⎜1+ ⎟ ⎝ 12 ⎠ 192 = 1, 160. 754518 Por lo tanto al final del primer año el monto será de $1,160.754518, que redondeado a centavos es $1,160.75 Daniel piensa que ganaría mucho más si el interés se compusiera diariamente y más aún si se compusiera instantáneamente. Si la composición del interés fuera instantánea, ¿cuántos periodos habría en un año? - El número m de periodos tendería a infinito y para calcular el monto en este caso sería necesario obtener: { } m m ⎟ ⎛ 0. 15 ⎞ lim = 1000⎜1+ ..........(1) →∞ ⎝ ⎠ Para calcular este limite expresamos al exponente m como m = (m /0.15) 0.15, entonces escribimos el monta A en la siguiente forma: ( ) ⎪⎧ m / 0. 15 ⎛ 0. 15 ⎞ A = 1000⎨⎜1 + ⎟ ⎪⎩ ⎝ m ⎠ m 0. 15 0. 15 m 1 Sea = h , entonces = . Considerando esto, tenemos: m 0. 15 h A = 1000 [(1 + h) (1/h)0.15 ] ⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
Por otra parte, si m → ∞, h → 0, así que ⎛ 0. 15 ⎞ lim = ⎜1 + ⎟ →∞ ⎝ m ⎠ m Por lo tanto, m / 0. 15 = lim ( 1 + h) 1/ h ...que es precisamente el número e h→∞ ( m / 0. 15) 0. 15 ⎪⎧ ⎛ 0. 15 ⎞ ⎪⎫ A = 1000⎨⎜1 + ⎟ ⎬ = 1000e ⎪⎩ ⎝ m ⎠ ⎪⎭ Así que para el caso del interés del 15% anual compuesto continuamente, el monto A de un capital inicial de $1,000.00 es: A = 1000 e 0.15 ... (a) 193 0. 15 Tomando e = 2.718281828 y efectuando las operaciones se obtiene A ≈ $1,161.83 que es la cantidad que Daniel obtendría al final del primer año si el interés se compusiera continuamente. Convierte la expresión (a) en una fórmula para obtener el monto compuesto A que se obtiene al invertir un capital inicial P a un interés anual i compuesto continuamente durante un año. Solución A = P e i ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
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INTRODUCCIÓN El Cálculo Diferenci
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Una bola sube verticalmente alcanza
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Graficando f (x) = x 3 - 4x - 5 con
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Además, cuando Q tiende a P, la re
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Posición límite de las rectas sec
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El cálculo diferencial es el estud
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Observemos la gráfica. Gráfica No
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1. Usando la regla del producto cal
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Ejemplos. Derivar: y = x −6 39 3
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y = x 1/ 2 1 + x 1/ 2 = x 1/ 2 + x
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dy dx du = f '( u) y = g'( x) dx Co
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Contesta las siguientes preguntas c
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Ejercicios de aplicación. 4 2 a) S
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1. Calcula f ’ , f ’’ y f ’
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Ejemplo. Derivar 5x + y 2 2 − xy
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d) El numero “e”; se utiliza en
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c) DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
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Derivar: ( x) f = 7sec x 3 y ´ = 7
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cos y y’ = u’ despejamos y u' c
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FUNCIÓN DERIVADA A TRAVÉS DE LA R
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Para la solución de los problemas
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La gráfica queda como se muestra a
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Observa la gráfica y analiza las s
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Ahora, observa nuevamente la gráfi
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Observa la tabla y la gráfica para
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Completa la siguiente tabla t P(t)
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Planteamiento. El recipiente tiene
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Planteamiento Como el aire escapa a
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Contesta las siguiente preguntas co
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Al sustituir t = 1.633 en ´h (t)´
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La derivada nos permite resolver to
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ACTIVIDADES INTEGRALES Con el objet
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Compara las respuestas que obtuvist
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LÍMITES 3.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓ
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Como ya has visto, la derivada es u
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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Observa la
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