CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Conevyt

En algunos casos retomamos las fórmulas.
a) y’ (uv) = uv’ +vu’
b) y’ (u) n = n(u) n–1 u’
c)
d ⎛ u ⎞ v u'
− u
⎜ ⎟ =
dx v
2
⎝ ⎠ v
v'
y otras según lo estime el problema.
2 2
Ejemplo. Derivar la función implícita x + y = 5
Solución: derivamos término a término con respecto a x
2
y'( x ) = 2x
2
y'( y ) = 2y
y ' ( 5)
= 0
50
La derivada de un producto
La derivada de una función elevada a un
exponente entero positivo
La derivada de un cociente
Sustituyendo
y’ (x 2 + y 2 – 5) = 2x + 2y y’ – 0
= 2x + 2y(
y′
). ecuación (1)
Despejamos y′ de.
1
2y y'=
−2x
∴ y’ =
El ejercicio anterior lo podemos expresar en forma explícita y obtener su derivada.
Continuando con el ejemplo. Derivar
x
2
+ y
2
u = 5 − x
u'
= −2x
Como y =
= 5
2
y =
1
y'=
( 5 − x
2
y'=
−
2
5 − x
2x
5 − x
2
2
2
)
=
( 5
−1/
2
= −
− x
2
)
( −2x)
x
5 − x
1/
2
2
x
−
y
2
x
5 − x , entonces se sustituye en la derivada y se obtiene la expresión y’ = −
y