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100 Elementos de cálculo, volumen 1
Límites al infinito de funciones polinomiales
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 (con an = 0) entonces
y también
lim
x→∞ (anx n + an−1x n−1 n
+ · · · + a1x + a0) = lim anx
x→∞
lim
x→−∞ (anx n + an−1x n−1 n
+ · · · + a1x + a0) = lim anx
x→−∞
Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 (con an = 0) y
q(x) = bmx m + bm−1x m−1 + · · · + b1x + b0 (con bm = 0) entonces
y además
lim
x→∞
lim
x→−∞
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0
bmx m + bm−1x m−1 + · · · + b1x + b0
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0
bmx m + bm−1x m−1 + · · · + b1x + b0
Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular
los límites al infinito de un polinomio basta considerar solo el término
de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los límites al infinito de
un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los
términos de mayor grado de ambos polinomios.
Ejemplo 25. Cálculo de asíntotas horizontales
Determinar las asíntotas horizontales de las siguientes funciones
a) f(x) = 2x 3 − 4x + 1 b) g(x) = 2x3 − 4x + 1
x 2 − x + 1
c) h(x) = x3 + 4x + 1
x 5 − x + 1
Solución:
a) lim
x→−∞ (2x3 − 4x + 1) = lim
x→−∞ 2x3 = −∞ (según la regla 1).
Por otra parte lim
x→∞ (2x3 − 4x + 1) = lim
x→∞ 2x3 = ∞
De modo que f no tiene asíntotas horizontales.
⋆ Nota: De hecho ninguna función polinomial tiene asíntotas
horizontales. ¿Podría usted explicar por qué?
anx
= lim
x→∞
n
bmxm anx
= lim
x→−∞
n
bmxm