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122 Elementos de cálculo, volumen 1
El teorema anterior dice que en los puntos donde la función es
discontinua no puede ser derivable, pero, mucho cuidado, no dice que Discontinuidad im-
si la función es continua tiene que ser derivable. Retomando el caso de
la función f(x) = |x| vemos que es siempre continua y sin embargo no
es derivable en x = 0.
plica no derivabilidad
Notaciones para la derivada:
Si y = f(x) es una función, entonces, además de la notación f ′ (x)
para su derivada, se utilizan también las siguientes
y ′ ,
dy
dx ,
df
dx , [f(x)]′ , Dxy, Dxf(x).
El concepto de límite
En este libro hemos introducido el concepto de límite y, a partir del
mismo, estudiado, por ejemplo, la noción de continuidad. El concepto
ha sido usado para definir propiamente la derivada, también se usa para
definir la integral. Es una noción de importancia medular.
Lo interesante es que la formulación de continuidad, derivada e integral
tanto de Newton y Leibniz como de la mayoría de los matemáticos
del siglo XVIII, no usaba la noción de límite como la hemos estudiado
aquí. Tanto en Newton como Leibniz hay referencia a la idea que terminaría
condensándose en el concepto de límite. Pero la forma definitiva
como se generalizaría en la comunidad matemática es bien posterior a
ellos.
En torno a la introducción de este concepto como central en el
Cálculo o Análisis se suele mencionar al francés Jean D’Alembert (1717–
1783) quien usaba explícitamente la palabra límite. Por ejemplo decía:
“La teoría de los límites está en la base de la verdadera
Metafísica del cálculo diferencial.”
No sería, sin embargo, hasta el trabajo del gran matemático francés
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) que se le daría la forma casi idéntica
que hoy conocemos del Cálculo infinitesimal elemental y, en particular,
al concepto de límite. En el trabajo de Cauchy (publicado en libros de
1821, 1823 y 1829) los conceptos de función y de límite de una función
son los fundamentales.
Debe decirse, sin embargo, que otro gran matemático de Bohemia
(hoy parte de la República Checa), Bernhard Bolzano (1781–1848),
había construido en la misma época e independientemente definiciones
de límite, derivada, continuidad y convergencia muy similares a las de
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