Descargar

70 Elementos de cálculo, volumen 1
4. En esta gráfica se tiene que:
• lim
x→c f(x) sí existe
• f(c) sí existe y además
• lim
x→c f(x) = f(c)
f(c)
y
✻
Figura 3.10.
.......... ..........
c
f(c)
✲ x
Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que,
salvo en la última, en todas las demás la gráfica de la función presenta
✶c
x tiende a c
❞❂f
tiende a f(c)
algún tipo de ruptura de la curva sobre el valor de x = c. En otras pal- Función continua:
abras solamente la gráfica del último caso podría ser dibujada “sin levantar
el lápiz del papel”. Esta última es la que intuitivamente llamaríamos
una función continua. Precisamente la definición de continuidad está
basada en la situación que se presenta en este último caso.
Definición 3.2. Continuidad
“sin
levantar el lápiz”
Suponga que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos
que la función f es continua en x = c si se tienen las siguientes condiciones:
1. Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f.
2. También existe lim
x→c f(x).
3. Además lim
x→c f(x) = f(c).
Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c.
Ejemplo 28. Discusión sobre la continuidad de
algunas funciones
1. Si tenemos una función constante f(x) = k, sabemos que para
cualquier c se tiene lim f(x) = k y además f(c) = k. Esto nos
x→c
dice que es un función continua.
2. La función identidad f(x) = x también es continua pues f(c) = c
y lim
x→c x = c.
3. La función f(x) = x2 − 1
x − 1 es
y
✻
y = f(x)
f(c)
✲
c x
lim f(x) = f(c)
x→c
Figura 3.11. f continua en c