Descargar

23 Elementos de cálculo, volumen 1
es cada vez más cercano a 12. Podemos decir que f ′ (2) = 12. △
⋆ Nota: Los valores que aparecen en esta tabla se obtuvieron utilizando
un sencilla calculadora científica. Se conservaron hasta
seis decimales proporcionados por la calculadora para no alterar
mucho los resultados. La misma observación vale para todos los
cálculos numéricos que aparecen en este libro.
Ejemplo 7 (Calcular la velocidad). Un insecto se mueve sobre una
recta de manera que a los t segundos se encuentra a una distancia
d(t) = √ t + 1 metros del origen. Determinar su velocidad a los
3 seg.
Solución
La velocidad a los 3 seg es d ′ (3), de modo que conside-ramos el
cociente
√
d(t) − d(3) t + 1 − 2
=
t − 3 t − 3
y elaboramos una tabla en la que se calcula este cociente para valores
muy próximos a 3, tomando valores mayores que 3 y valores
menores que 3.
Tabla 1.8
2
d(t)
d
✻
t
3 − t
Figura 1.13. d(t) = √ t + 1
valores mayores que 3 valores menores que 3
t d(t) d(t) − d(3) t − 3
d(t)−d(3)
t−3 t d(t) d(t) − d(3) t − 3
3
2 − d(t)
✲
t
d(t)−d(3)
t−3
3,5 2,12132 0,12132 0,5 0,24264 2,5 1,870828 -0,129171 -0,5 0,258342
3,1 2,024845 0,024845 0,1 0,248456 2,9 1,974841 -0,025158 -0,1 0,251582
3,01 2,002498 0,002498 0,01 0,249843 2,99 1,997498 -0,002501 -0,01 0,250156
3,001 2,00025 0,00025 0,001 0,249984 2,999 1,99975 -0,00025001 -0,001 0,25001
De la tabla anterior deducimos que la velocidad del insecto a los
3 seg es de 0, 25 m/seg. △
Ejemplo 8 (Calcular la recta tangente). Determinar la ecuación
de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 4 − x 2 cuando
x = 1.
Solución
Tenemos que
f(1) = 4 − 1 2 = 4 − 1 = 3
y entonces el punto de tangencia es (1, 3). Para conocer la pendiente
de la recta tangente calculamos el cociente
f(x) − f(1)
x − 1
= (4 − x2 ) − 3
x − 1
= 1 − x2
x − 1
y = −2x + 5
③
3
✻ y
♣ ✲ x
1
f(x) = 4 − x 2 , tangente:
y = −2x + 5
Figura 1.14.