Descargar

30 Elementos de cálculo, volumen 1
El objetivo esencial de la geometría analítica es, precisamente, el de estudiar
curvas geométricas de forma algebraica y ecuaciones algebraicas
con su representación geométrica.
Si se tiene la ecuación de una curva geométrica es posible “trabajarla”
algebraicamente y obtener resultados nuevos que por vía meramente
geométrica no serían posibles.
La gráfica de una función
Una función f(x) = y o la ecuación f(x)−y = 0 posee representación
gráfica en el plano coordenado. Por ejemplo, la Figura 2.3 nos da la
gráfica de la función
y = f(x) = 2x 3 − x
y la Figura 2.4 la de otra función.
Es importante señalar, sin embargo, que no toda ecuación nos ofrece
una función, ni toda curva geométrica representa la gráfica de una
función. Por ejemplo, la Figura 2.1 y la Figura 2.2 no representan funciones.
Note que en las últimas figuras mencionadas para casi todas las
x en el eje de las abscisas se asigna dos y en el eje de las ordenadas (lo
que “prohibe” la definición de función).
De una ecuación o curva es posible en ocasiones obtener funciones.
Por ejemplo, de
x 2 + y 2 = r 2
(con r > 0)
podemos obtener dos funciones:
y 2 = r 2 − x 2 , sacando la raíz tenemos
y = √ r 2 − x 2
lo que gráficamente es:
−r
.
r =radio crculo
y
. ✻f(x)
=
r
√ r2 − x2 ✯
y
O
Dominio [−r, r], Ambito [0, r]
✲
r x
Figura 2.5. Semicircunferencias
x
y = − √ r 2 − x 2
Dominio [−r, r], Ambito [−r, 0]
−r
y
✻
O
y
x
. ✲
r
x
−r
f(x) = − √ r2 − x2 −r
coordenadas del punto P
y
r✻
❄
y
P (x, y)
O
−y
−r
x
✲
r x
P1(x, −y)
✗
coordenadas del punto P1
Figura 2.1. x 2 + y 2 = r 2 :
un círculo
Figura 2.2. Lemniscata:
3(x 2 + y 2 ) 2 = 100xy
Figura 2.3. La curva
y = 2x 3 − x
4✻ 3
2
1 ❛
−2 −1
−1
1 2
✲
3 4
y
x
Figura 2.4. Segmentos de
recta