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74 Elementos de cálculo, volumen 1 Es decir, Resolviendo esta ecuación resulta Entonces si d = 5 2 4d − 3 = 2d + 2. 4d − 2d = 2 + 3 2d = 5 d = 5 2 se tiene que f es continua en todo R. △ 3.3 FUNCIONES DISCONTINUAS Hemos visto anteriormente que las funciones pueden tener discontinuidades en algunos puntos. Básicamente la dicontinuidad en algún punto x = c se presenta por alguna de las razones siguientes: A. El límite lim x→c f(x) no existe. B. El límite lim x→c f(x) sí existe pero f(c) no existe. C. El límite lim x→c f(x) sí existe, f(c) también existe, pero D. Ni f(c) ni lim x→c f(x) existen. lim f(x) = f(c). x→c Ejemplo 11. Discontinuidades de diferentes tipos En la figura 3.16 se presenta una función f: ✉ ❡ y ✻ a b c d Figura 3.16. Diferentes tipos de discontinuidad ❡ ✉ ❡ ✲ x Clasificamos en esta sección ciertos tipos de discontinuidades que se pueden presentar.
75 Elementos de cálculo, volumen 1 Podemos ver que la función presenta cuatro puntos de discontinuidad. En x = a se tiene que f(a) existe pero lim x→a f(x) no existe. En x = b se tiene que f(b) no existe y lim x→b f(x) tampoco existe. En x = c se tiene que f(c) no existe pero lim x→c f(x) si existe. En x = d se tiene que f(a) existe, lim x→d f(x) también existe, pero lim f(x) = f(d) x→d Observando bien la gráfica, podemos ver que las discontinuidades son de diferente tipo. En c y en d la gráfica solo representa una “leve” ruptura, solo se interrumpe en un punto. Mientras que en a la gráfica “salta” de un lugar a otro y en b la gráfica “baja” indefinidamente. En los puntos en los que la gráfica solo se interrumpe en un punto sucede que el límite existe, mientras que en las otras circunstancias el límite no existe. Con base en esto damos la definición siguiente. Definición 3.3. Tipos de discontinuidad Sea f discontinua en x = c, decimos que (a) la discontinuidad es evitable si lim x→c f(x) existe. (b) la discontinuidad es inevitable si lim x→c f(x) no existe. En este caso, si lim x→c + f(x) y lim f(x) x→c− existen pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de salto. Ejemplo 12. Clasificando discontinuidades Para la función cuya gráfica se da en la figura 3.16 (ejemplo 11), las discontinuidades en x = c y en x = d son evitables. Las discontinuidades en a y b son inevitables. Por otra parte, la discontinuidad en a es una discontinuidad de salto. △ Los nombres que se dieron en la definición anterior son bastante claros en cuanto a su significado. Si se tiene una discontinuidad evitable en x = c bastaría redefinir f(c) = lim x→c f(x) △
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PREFACIO Elementos de Cálculo Dife
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Estos capítulos, al igual que toda
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f tiende a 12 CAPÍTULO 2: LÍMITES
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VOLUMEN II CAPÍTULO 6: LAS FUNCION
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INTRODUCCIÓN El Cálculo Diferenci
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Un poco de historia Los grandes cre
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Cauchy (1789-1857), Karl Weierstras
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