Descargar

132 Elementos de cálculo, volumen 1
Solución: Vamos a derivar a ambos lados de la ecuación, pero teniendo
el cuidado de recordar que y es función de x:
x 2 + y 2 = 16 ⇒ (x 2 + y 2 ) ′ = (16) ′
⇒ 2x + 2y · y ′ = 0
(vamos a derivar ambos miembros)
(aplicamos la regla [f(x)] n ′ = n[f(x)] n−1 · f ′ (x))
⇒ 2y · y ′ = −2x
⇒ y ′ = −2x
2y
⇒ y ′ = −x
y
Ahora, en el punto (3, √ 7) tenemos x = 3, y = √ 7, por lo tanto aquí se
tiene
y ′ = −3
√ .
7
Una comprobación:
Consideremos ahora y = √ 16 − x2 (la semicircunferencia superior); tenemos:
y ′ 1
=
2 √ −x
· (−2x) = √
16 − x2 16 − x2 .
Como y = √ 16 − x 2 , entonces tendríamos
y ′ = −x
y
que coincide con el resultado anteriormente obtenido.
⋆ Actividad: Calcule y ′ para y = − √ 16 − x 2 . Debe obtener el
mismo resultado que en el ejemplo anterior.
△
−r
O
y
−r
y
✻
x
. ✲ x
r
f(x) = − √ r 2 − x 2
Figura 5.21. Semicircunferencia
inferior