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47 Elementos de cálculo, volumen 1
y y = f(x)
✻
P
L ❞
c
f(c) = P,
lim f(x) = L
x→c
✲ x
L
y y = g(x)
✻
c
g(c) = L,
lim g(x) = L
x→c
✲ x
Figura 2.28. f, g y h difieren en c pero tienen el mismo límite en c
FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
L
y y = h(x)
✻
c
❞
h(c) no existe,
lim h(x) = L
x→c
Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x 2 + x − 6, en otras
palabras: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x 2 + x − 6,
se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x 2 + x − 6.
Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar”
los factores que sean idénticos “arriba” y “abajo” en la fracción.
Por ejemplo, x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces
x 2 + x − 6
x 2 − 4
(x − 2)(x + 3) x + 3
= =
(x − 2)(x + 2) x + 2
La última fracción es simplificación de la primera (se tachó el factor en común x − 2).
Existen muchos métodos de factorizar polinomios; un repaso de ellos puede serle muy útil en el cálculo
de lmites.
Las siguientes fórmulas de factorización le pueden ayudar.
.
x 2 + 2xy + y 2 = (x + y)(x + y) x 2 − 2xy + y 2 = (x − y)(x − y)
x 2 − y 2 = (x + y)(x − y) x 3 − y 3 = (x − y)(x 2 + xy + y 2 )
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ) x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Recuadro 2.3: Factorización
Lo que todo esto significa es: si se logra transformar adecuadamente
la función dada en otra que sea equivalente a ella (salvo en el valor c
✲ x