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110 Elementos de cálculo, volumen 1
59. Considere f(x) = √ x 2 + 2x + 8 − x.
(a) Complete la siguiente tabla:
x 10 50 100 1000
f(x)
(b) Tomando como base los resultados
obtenidos en (a) dé un estimado de
lim
x→∞ ( x 2 + 2x + 8 − x).
(c) El resultado en (b) se puede obtener algebraicamente.
Hágalo.
Sugerencia:
x 2 + 2x + 8 − x =
( √ x 2 + 2x + 8 − x)( √ x 2 + 2x + 8 + x)
√ x 2 + 2x + 8 + x
60. Para n entero positivo se define
Por ejemplo:
f(n) = 1 1
1
+ + · · · +
n n + 1 2n
f(4) = 1 1 1 1 1
+ + + + ≈ 0, 884523809
4 5 6 7 8
(a) Calcule f(n) para n = 1, n = 2, n = 3,
n = 6, n = 7, n = 8, n = 9, n = 10. Use
calculadora.
(b) Dé un estimado para lim
n→∞ f(n).
61. Se considera un segmento AB como el de la
figura 4.26 cuya longitud es 12. Se parte el segmento
en n partes iguales y sobre cada parte se
construye un triángulo isósceles cuyos ángulos
en la base miden 45 o . Calcule la longitud de
la línea quebrada (la línea de puntitos en el
dibujo) cuando n = 2, cuando n = 4 y cuando
n = 6. ¿Cuál es el límite de la longitud de la
línea quebrada cuando n tiende a infinito?
A ✛ 12
45
✲ B
o
☛
Figura 4.26.
62. En algunas ocasiones, cuando x tiende a infinito,
los valores de una función f(x) se aproximan
a los valores de una recta oblicua. Esta
recta se llama asíntota oblicua de la función;
tal es el caso de la recta L en el gráfico dado
en lo figura 4.27
✻ y
Figura 4.27.
L
✲ x
Para que f tenga una asíntota oblicua en ∞,
una condición necesaria (aunque no suficiente)
es que lim f(x) sea ∞ o −∞. Si la ecuación
x→∞
de la asíntota oblicua es y = mx + b entonces
tenemos
f(x)
m = lim
x→∞ x
y b = lim (f(x) − mx)
x→∞
Lo mismo vale si en lugar de ∞ escribimos
−∞.
Utilizando esto calcule una asíntota oblicua
para la función f(x) = x3 + 1
x 2 + 1 .