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118 Elementos de cálculo, volumen 1
Ejemplo 30. Cálculo de la derivada en un punto
Tomemos nuevamente la función f(x) =
derivada.
Tenemos
f ′ f(x + h) − f(x)
(x) = lim
h→0 h
= lim
h→0
= lim
h→0
= lim
h→0
x+h+1
x+h−1
h
− x+1
x−1
(x−1)(x+h+1)−(x+1)(x+h−1)
(x+h−1)(x−1)
h
x + 1
x − 1
(x − 1)(x + h + 1) − (x + 1)(x + h − 1)
h(x + h − 1)(x − 1)
y calculemos su función
x
= lim
h→0
2 + xh + x − x − h − 1 − x2 − xh + x − x − h + 1
h(x + h − 1)(x − 1)
−2h
= lim
h→0 h(x + h − 1)(x − 1)
−2
= lim
h→0 (x + h − 1)(x − 1)
−2
=
(x − 1) 2
Es decir f ′ (x) =
−2
.
(x − 1) 2
Por ejemplo, si x = 2 tenemos
Por otra parte,
f ′ (2) = −2
= −2.
(2 − 1) 2
f ′ (3) = −2 −1
=
(3 − 1) 2 2 ,
f ′ (5) = −2 −1
=
(5 − 1) 2 8 ,
etc. No hay que calcular el límite cada vez, solo basta evaluar en la
función derivada. △
Ejemplo 31. Derivada 0: recta tangente paralela al eje x
Determinar en qué puntos la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 +
3x 2 − 12x es paralela al eje x.