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103 Elementos de cálculo, volumen 1
Figura 4.15.
La suma de las áreas de los 4 rectángulos da una aproximación:
Area ∼ = 1 · f(1) + 1 · f(2) + 1 · f(3) + 1 · f(4)
= 1 · (1) 2 + 1 · (2) 2 + 1 · (3) 2 + 1 · (4) 2
= 1 · (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 )
= 1 · (1 + 4 + 9 + 16)
= 30 Una primera aproximación
Obsérvese que esta aproximación es muy “gruesa” y que se mejoraría
mucho si se tiene rectangulitos más delgados, es decir aumentando el
número de los rectangulitos como en la siguiente figura:
✻ y
Figura 4.16.
y = x 2
1 1
2
1
2
3
2
2 5
2
3 7
2
4
Aquí el ancho de los 8 rectangulitos es 1
2 = 0, 5 y la nueva aproximación
se obtiene por:
Area ∼ = 1
2
1
1
· f(1 2 ) + 2 · f(1) + 2
✲
x
1
1
· f(3 2 ) + 2 · f(2) + 2
1
1
· f(5 2 ) + 2 · f(3) + 2
1 · f(7 2 ) + 2 · f(4)
= 1 1
2 · ( 2 )2 + 1 2
2 · ( 2 )2 + 1 3
2 · ( 2 )2 + 1 4
2 · ( 2 )2 + 1 5
2 · ( 2 )2 + 1 6
2 · ( 2 )2 + 1 7
2 · ( 2 )2 + 1 8
2 · ( 2 )2
[Note que 1 = 2 4 6
, 2 = , 3 =
2 2 2
y 4 = 8
2 ]
= 1
2 3 (1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 )
[sacando a factor 1
2 3 ]
= 1
8 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64)
= 25,5 Una segunda aproximación
En forma general: podemos considerar ahora n rectángulos que
parten el intervalo [0, 4].
La longitud del ancho es ahora 4
n
y la partición se vería así: Se parte el intervalo
[0, 4] en n partes