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128 Elementos de cálculo, volumen 1 Ejemplo 39. Cálculo de la segunda derivada Calcular la segunda derivada de f(x) = x 3 + 4x 2 − 1. Solución: Tenemos f ′ (x) = (x 3 + 4x 2 − 1) ′ = 3x 2 + 8x y por lo tanto f ′′ (x) = (3x 2 + 8x) ′ = 6x + 8. △ Ejemplo 40. Cálculo de la cuarta derivada Calcular la cuarta derivada de f(x) = x 6 − x 5 + x 3 . Solución: Tenemos sucesivamente f ′ (x) = 6x 5 − 5x 4 + 3x 2 , f ′′ (x) = 30x 4 − 20x 3 + 6x, f ′′′ (x) = 120x 3 − 60x 2 + 6, f (4) (x) = 360x 2 − 120x Algunos ejemplos de aplicaciones Vimos en el primer capítulo que se puede interpretar la derivada como una velocidad instantánea o gráficamente como la pendiente de una recta tangente. Los siguientes ejemplos se refieren a esas interpretaciones. △ Figura 5.15. Aquí aparecen f, f ′ y f ′′
129 Elementos de cálculo, volumen 1 Ejemplo 41. Cálculo de la velocidad Suponga que un objeto se mueve en línea recta de modo que en cada instante t su distancia al origen es d(t) = 2t 3 + t 2 + 1 metros. Determinar su velocidad en cada instante t, ¿cuál es su velocidad a los 4 seg?, ¿y a los 6 seg? Solución: Sabemos que la velocidad v(t) está dada por la derivada d ′ (t), de manera que en cada instante t. La velocidad a los 4 seg sería y a los 6 segundos sería v(t) = d ′ (t) = 6t 2 + 2t m/seg, v(4) = d ′ (4) = 6(4) 2 + 2(4) = 104 m/seg v(6) = d ′ (6) = 6(6) 2 + 2(6) = 228 m/seg Ejemplo 42. Cálculo de la recta tangente Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por en el punto (1, 3). g(x) = 4 − x 2 Solución: Observe que el punto (1, 3) pertenece a la curva pues si x = 1 entonces g(1) = 4 − 1 2 = 3. Sabemos entonces que la pendiente m de la recta tangente es la derivada de g evaluada en 1. Tenemos g ′ (x) = −2x y por lo tanto m = g ′ (1) = −2(1) = −2. La intersección b se calcula mediante b = 3 − (−2)(1) = 3 + 2 = 5. De manera que la ecuación de la recta es y = −2x + 5 △ △ Figura 5.16. y = −2x + 5 g(x) = 4 − x 2 d(t) = 2t 3 + t 2 + 1 3 y ✻ 1 ✲ Figura 5.17. g y su tangente en (1, 3) x
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PREFACIO Elementos de Cálculo Dife
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Estos capítulos, al igual que toda
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f tiende a 12 CAPÍTULO 2: LÍMITES
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VOLUMEN II CAPÍTULO 6: LAS FUNCION
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INTRODUCCIÓN El Cálculo Diferenci
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Un poco de historia Los grandes cre
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Cauchy (1789-1857), Karl Weierstras
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3 Elementos de cálculo, volumen 1
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CAPÍTULO 2 LÍMITES La esencia de
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