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20 Elementos de cálculo, volumen 1
1.2.1 La derivada como razón de cambio instantáneo
El ejemplo de la velocidad de la piedra en caída libre y el de la
pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado se
refieren a la misma situación.
En ambos casos tenemos en primer lugar una función:
d(t) = 4, 9t 2
o f(x) = 4, 9x 2
También en ambos calculamos promedios:
d(t) − d(5)
t − 5
o
f(x) − f(5)
x − 5
Se calcularon varios de esos promedios con los valores de t o de
x (variable independiente) cada vez más próximos a 5.
En ambos casos los promedios obtenidos fueron cada vez más
cercanos al valor 49. Valor que se interpretó así:
• La velocidad instantánea de la piedra 5 seg después de haber
sido soltada es de 49 m/seg.
• La pendiente de la recta tangente a la curva dada por
en el punto (5, 122, 5) es
f(x) = 4, 9x 2
m = 49.
Entonces la conclusión es: calcular la velocidad instantánea se
reduce a calcular la pendiente de la recta tangente a la función
que describe el movimiento. Observe que en realidad ambas son la
misma función, solo que usamos diferentes nombres para las variables
y la utilizamos para interpretar diferentes situaciones. Pero,
podemos aplicar el proceso descrito antes a cualquier función y para
cualquier valor dado de la variable independiente. Velocidad instantánea
Este proceso es uno de los conceptos centrales en la rama de
las matemáticas que se llama Cálculo Diferencial y tiene múltiples
aplicaciones en las ciencias y las técnicas debido a que muchísimos
de los conceptos en estas áreas tienen que ver con razones de cambio.
Por ejemplo:
• La velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto
al tiempo.
=
pendiente de la recta
tangente
• La aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto
al tiempo. Razones de cambio
instantáneas