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104 Elementos de cálculo, volumen 1 0 4 n 2 × 4 n 3 × 4 n Note que podemos llamar (n − 1) × 4 n 4 x1 = 4 n , x2 = 2· 4 n , x3 = 3· 4 n , . . . , xn−1 = (n−1)· 4 n , xn = n· 4 = 4 n y que 0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = 4. Area ∼ = 4 n = 4 n = 4 n 4 4 · f( n ) + n 4 4 · f(2 · n ) + n 4 4 · f(3 · n ) + · · · + n 4 4 4 · f((n − 1) · n ) + n · f(n · n ) · ( 4 n )2 + 4 n · 22 · ( 4 n )2 + 4 n · 32 · ( 4 n )2 + · · · + 4 n · (n − 1)2 · ( 4 n )2 + 4 n · n2 · ( 4 n )2 3(1 + 2 2 + 3 2 + · · · + (n − 1) 2 + n 2 ) [ecuación 4.3.1] [sacando a factor 4 n Se puede demostrar que 3] 1 + 2 2 + 3 2 + · · · + (n − 1) 2 + n 2 = 2n3 + 3n 2 + n 6 [Resultado obtenido por los matemáticos franceses Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat]. Entonces, sustituyendo en la ecuación 4.3.1: Area ∼ = 4 3 2n3 + 3n2 + n = 4 n 6 3 2n3 + 3n2 + n n3 · 6 Area Por lo tanto: ∼ = 4 3 1 1 1 + + 3 2n 6n2 Al aumentar el número de rectángulos n, la aproximación se mejora. Si n → ∞ obtendríamos el área exactamente. Es decir: El área es un límite al Area = lim n→∞ 43 1 1 + 3 2n ↓0 + 1 6n2 = ↓ 0 43 3 = 21,333 El área bajo la curva y = x 2 en el intervalo [0, a] Si en lugar de x = 4, tomamos un valor más general x = a (a > 0), y reproduciendo el método, tendríamos: Area = lim n→∞ a3 1 1 1 + + 3 2n 6n2 = a3 3 infinito
105 Elementos de cálculo, volumen 1 Lo que obtendríamos se expresa modernamente como Area = a 0 x 2 dx = a3 3 Este resultado lo conocía Arquímedes a través del uso del método de exhausción. El área bajo la curva f(x) = x 2 en el intervalo [0, a] viene dada por a 0 x 2 dx = a3 3 [Se dice: la integral definida de x2 entre 0 y a es a3 ]. Este resultado 3 y el método de obtenerlo eran conocidos por varios matemáticos antes de Newton y Leibniz. ✻ y y = x 2 ✲ a x Figura 4.17. Area = a 0 x2 dx El área es una integral definida El símbolo (una S alargada), de integral, fue introducido por Leibniz en 1675.
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PREFACIO Elementos de Cálculo Dife
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Estos capítulos, al igual que toda
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f tiende a 12 CAPÍTULO 2: LÍMITES
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VOLUMEN II CAPÍTULO 6: LAS FUNCION
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INTRODUCCIÓN El Cálculo Diferenci
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Un poco de historia Los grandes cre
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Cauchy (1789-1857), Karl Weierstras
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3 Elementos de cálculo, volumen 1
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CAPÍTULO 2 LÍMITES La esencia de
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