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129 Elementos de cálculo, volumen 1
Ejemplo 41. Cálculo de la velocidad
Suponga que un objeto se mueve en línea recta de modo que en cada
instante t su distancia al origen es
d(t) = 2t 3 + t 2 + 1 metros.
Determinar su velocidad en cada instante t, ¿cuál es su velocidad a los
4 seg?, ¿y a los 6 seg?
Solución: Sabemos que la velocidad v(t) está dada por la derivada
d ′ (t), de manera que
en cada instante t.
La velocidad a los 4 seg sería
y a los 6 segundos sería
v(t) = d ′ (t) = 6t 2 + 2t m/seg,
v(4) = d ′ (4) = 6(4) 2 + 2(4) = 104 m/seg
v(6) = d ′ (6) = 6(6) 2 + 2(6) = 228 m/seg
Ejemplo 42. Cálculo de la recta tangente
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por
en el punto (1, 3).
g(x) = 4 − x 2
Solución: Observe que el punto (1, 3) pertenece a la curva pues si x = 1
entonces g(1) = 4 − 1 2 = 3. Sabemos entonces que la pendiente m de la
recta tangente es la derivada de g evaluada en 1. Tenemos g ′ (x) = −2x
y por lo tanto
m = g ′ (1) = −2(1) = −2.
La intersección b se calcula mediante
b = 3 − (−2)(1) = 3 + 2 = 5.
De manera que la ecuación de la recta es
y = −2x + 5
△
△
Figura 5.16.
y = −2x + 5
g(x) = 4 − x 2
d(t) = 2t 3 + t 2 + 1
3
y
✻
1
✲
Figura 5.17. g y su tangente
en (1, 3)
x