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125 Elementos de cálculo, volumen 1
Teorema 5.2. Propiedades de las derivadas
Sean f y g funciones derivables en un dominio común, entonces:
1. [kf(x)] ′ = kf ′ (x) para cualquier constante k (la derivada de una constante por una función es igual
a la constante por la derivada de la función)
2. [f(x) + g(x)] ′ = f ′ (x) + g ′ (x) (la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las
derivadas de las funciones).
3. [f(x) − g(x)] ′ = f ′ (x) − g ′ (x) (la derivada de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de
las derivadas de las funciones).
4. [f(x) · g(x)] ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x) (la derivada de un producto de funciones es igual a la
derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la
segunda)
′
f(x)
5. =
g(x)
f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)
[g(x)] 2 (la derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador
por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador,
todo sobre el cuadrado del denominador).
f(x)
n
′
6.
= n f(x) n−1 ′
· f (x), para n un número real.
Utilizando las propiedades dadas en este teorema y las derivadas
especiales anteriormente dichas podemos calcular una cantidad enorme
de derivadas, tal como lo ilustran los siguientes ejemplos.
Cálculo de derivadas usando el teorema 5.2
Ejemplo 36.
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
1. f(x) = 8x 4
2. g(x) = x 5 + x 3
3. h(x) = x 6 − 123
4. p(x) = (x −4 ) √ x
5. r(x) = x3
x 2 + 1
6. s(x) = (x 5 + 4x) 15