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116 Elementos de cálculo, volumen 1
La definición anterior representa también un método para calcular
derivadas. Sin embargo, como usted puede ver, resulta bastante tedioso.
Por ejemplo, si para la misma función anterior usted tuviera que
calcular la derivada en 3, en 5, en −7, entonces tendría que calcular
tres límites análogos al anterior. No obstante, para esta función y para
prácticamente todas, existe la posibilidad de eludir tantos cálculos y calcular
un solo límite que nos de la derivada en todos los puntos donde
ésta exista.
La derivada como una función
Comenzaremos escribiendo la definición de derivada en una forma equivalente
pero más cómoda para los efectos que nos proponemos.
Recuerde que
f ′ (c) = lim
x→c
f(x) − f(c)
.
x − c
Ahora, si en lugar de x escribimos c + h, es decir x = c + h entonces
cuando x → c se tiene que h → 0 y la derivada se puede escribir ahora
como
✻ y
(c + h, f(c + h))
(c, f(c))
Figura 5.8.
h
✲
c c + h
f ′ (c) = lim
h→0
f(c + h) − f(c)
x
f(c + h) − f(c)
.
h
Se puede utilizar alternativamente cualquiera de los dos límites para
calcular derivadas.
Observe que esta segunda forma no hace referencia explícita a la
variable independiente x de la función. Esto hace más fácil escribir la
siguiente definición:
△