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50 Elementos de cálculo, volumen 1
Segundo método: racionalizar y simplificar
Ejemplo 17.
Calcular lim
x→4
√ x − 2
x − 4 .
Solución: En los casos anteriores utilizamos factorización y simplificación
para obtener una nueva función. Aquí lo más conveniente es
racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador
como el denominador de la fracción por √ x + 2.
√
x − 2
lim
x→4 x − 4
(
= lim
x→4
√ x − 2)( √ x + 2)
(x − 4)( √ x + 2)
= lim
x→4
= lim
x→4
=
x − 4
(x − 4)( √ x + 2)
1
√
x + 2
1
√ =
4 + 2 1
4
. △
Ejemplo 18.
√
6 + x − x
lim
x→3 3 − x
=
(
lim
x→3
√ 6 + x − x)( √ 6 + x + x)
(3 − x)( √ 6 + x + x)
=
6 + x − x
lim
x→3
2
(3 − x)( √ 6 + x + x)
=
(3 − x)(2 + x)
lim
x→3 (3 − x)( √ 6 + x + x)
=
2 + x
lim √
x→3 6 + x + x
=
2 + 3
√ =
6 + 3 + 3 5
6
. △