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130 Elementos de cálculo, volumen 1
Ejemplo 43. Cálculo de la recta normal
Para la misma función del ejemplo anterior determinar la recta normal
a la curva en el punto (1, 3)
Solución: Primero dos cosas:
• La recta normal a la curva en un punto es la recta que es perpendicular
a la tangente en ese punto.
• Si dos rectas (que no son ni horizontales ni verticales) son perpendiculares
entonces el producto de sus pendiente es −1. Esto es, si
la pendiente de una es m, la de la otra es −1
m .
Según esto, como en el ejercicio anterior calculamos que la pendiente
de la tangente es m = −2, entonces la pendiente de la normal es
y la intersección sería
−1
m
−1 1
= =
−2 2 ,
b = 3 − 1
1 5
2 · 1 = 3 − 2 = 2
y por lo tanto la ecuación de la recta normal es
y = 1 5
2x + 2
5.3 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por
ejemplo, la curva que se presenta en la figura 5.20 es una circunferencia
y no representa una función.
Sin embargo, usted puede ver que la semicircunferencia superior sí
representa una función y la semicircunferencia inferior también representa
una función. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir de
esta circunferencia. Estas se llaman funciones implícitas.
La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0, 0), y
radio 4 su ecuación es entonces
x 2 + y 2 = 16.
△
normal
y = −2x + 5
g(x) = 4 − x 2
3
y
✻
1
y = 1 5
x +
2 2
✲ x
tangente
Figura 5.18. g, la tangente
y la normal en
(1, 3)
Aquí se estudia la derivación
implícita, que sirve para
determinar la derivada de
funciones dadas en forma
implícita mediante una
ecuación que la relaciona
con la variable independiente.