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115 Elementos de cálculo, volumen 1
Ejemplo 27. Cálculo de la pendiente de una recta tangente
Considere la función f(x) = 2x 2 − x + 1. Determine la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de esta función en el punto (−1, 4).
Solución: Según dijimos en el Capítulo 1, la derivada de una función
en un punto se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en ese punto. En este caso particular entonces
la pendiente que buscamos viene dada por f ′ (−1):
f ′ f(x) − f(−1)
(−1) = lim
x→−1 x − (−1)
2x
= lim
x→−1
2 − x + 1 − 4
x + 1
2x
= lim
x→−1
2 − x − 3
x + 1
(x + 1)(2x − 3)
= lim
x→−1 x + 1
= lim (2x − 3)
x→−1
= −5
De manera que la pendiente de la recta tangente en el punto (−1, 4) es
−5. △
Ejemplo 28. Cálculo de la derivada en un punto
Calcular f ′ x + 1
(−2) siendo f(x) =
x − 1 .
−1
✻ y
4
✲ x
Figura 5.6. Pendiente de la
tangente: −5
Solución: Tenemos que ✲
f ′ f(x) − f(2)
(2) = lim
x→2 x − 2
= lim
x→2
= lim
x→2
= lim
x→2
= lim
x→2
x+1
x−1
− 3
x − 2
x+1−3(x−1)
x−1
x − 2
−2x+4
x−1
x − 2
−2(x−2)
x−1
x − 2
−2(x − 2)
= lim
x→2 (x − 1)(x − 2)
−2
= lim
x→2 x − 1
= −2
y
✻
1
Figura 5.7. f(x) = x+1
x−1
1
x