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5.1 Verfahren zur Berechnung der Medienverteilung in einem Zellstapel 89
teilerkanal kann dagegen am Stapelende aufgrund der verringerten Strömungsgeschwindigkeit
ein laminares Strömungsprofil vorliegen. Der Widerstandsbeiwert ζ berechnet sich daher
nach einem Ansatz, der das Hagen-Poiseuillesche-Gesetz für laminare Rohrströmungen mit
dem Widerstandsgesetz für turbulente Rohrströmungen nach Blasius kombiniert.
0,25
4
⎡
4
⎛ϕ
⋅ 64 ⎞ 0,3164 ⎤
ζ R
= ⎢⎜
⎟ + ⎥
Gl. 5.8
⎢⎣
⎝ Re ⎠ Re ⎥⎦
ρ ⋅ ui
⋅ d
hyd
Re =
Gl. 5.9
µ
µ bezeichnet die dynamische Viskosität des betrachteten Fluids. Der Ansatz nach Gleichung
5.8 deckt das gesamte Strömungsregime ab und ist gültig für auf den Rohrdurchmesser
bezogene Reynoldszahlen kleiner als Re < 10 5 . Der Beiwert ϕ ist für laminare Rohrströmungen
mit Rechteckquerschnitt eine Funktion des Seitenverhältnisses aus Breite und Höhe des Manifoldquerschnitts
(siehe [91, p. Lb7]).
R
Wie zu Beginn des Kapitels 5.1 beschrieben, ist der Volumenstrom in den Zellen proportional zu
dem Druckverlust. Der Proportionalitätsfaktor ist mit Strömungsleitfähigkeit ( Leit ) bezeichnet.
Die Strömungsleitfähigkeit ist abhängig von der Geometrie der Strömungskanäle in den Zellen
und den Stoffeigenschaften des Gemischs. Der Druckverlust der ersten Zelle aus Bild 5.2 ergibt
sich zu
( p − p4
) ⋅ Leit
Z
= u3
⋅ AZ
3
Gl. 5.10
Z
Das sich aus den entsprechenden Gleichungen für alle Zellen des Stapels ergebende nichtlineare
Gleichungssystem wird iterativ mit dem Newton-Verfahren gelöst. Zur Lösung der dabei
auftretenden linearen Gleichungssysteme wird das Softwarepaket LAPACK [92] verwendet.
Neben den oben beschriebenen Gleichungen werden vier weitere Gleichungen in Form von
Randbedingungen zur eindeutigen Lösung des Gleichungssystems benötigt. Als Randbedingungen
werden der statische Druck am Stapelaustritt und die Strömungsgeschwindigkeit am
Stapeleintritt vorgegeben. Die Strömungsgeschwindigkeit am Stapeleintritt ergibt sich aus dem
Gesamtmassenstrom des Stapels und der Querschnittsfläche des Verteilerkanals. Außerdem ist
für die U-förmige Strömung die Strömungsgeschwindigkeit in den Knotenpunkten, die sich am
Ende des Verteiler- und Sammlerkanals befinden, gleich null (siehe Bild 5.2). Bei der Z-
Strömung ist die Strömungsgeschwindigkeit in den Knotenpunkten am Ende des Verteilers und
am Anfang des Sammlers gleich null.
Die Initialisierung der unbekannten statischen Drücke und mittleren Geschwindigkeiten in den
Knoten erfolgt unter der Annahme, dass die Medien über alle Zellen homogen verteilt sind. Es
konnte nicht festgestellt werden, dass sich das Berechnungsergebnis ändert, wenn eine andere
beliebige Startverteilung gewählt wurde. Das Ergebnis der Berechnung liefert an jedem Knotenpunkt
den statische Druck sowie die über den Kanalquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit. Die