View/Open - JUWEL - Forschungszentrum Jülich

3.5 Stromdichtemessung 55
nicht beeinträchtigen, da die rekonstruierbaren Stromdichten die für das Anwendungsproblem
wesentlichen Eigenschaften umfassen [77]. Die Instabilität der Lösung äußert sich darin, dass
kleine Datenfehler sowohl in dem Biot-Savart-Integraloperator W als auch in dem Messdatenvektor
H unter Umständen zu starken Änderungen in der Lösung für die Stromdichteverteilung
führen. In diesem Fall würde die Rekonstruktion physikalisch unsinnige Ergebnisse liefern [78].
Aus diesen Gründen ist es nicht möglich, die Inverse des linearen Biot-Savart-Integraloperators
−1
W für die Berechnungen heranzuziehen. Vielmehr muss das Rekonstruktionsproblem durch
einen geeigneten Ansatz stabilisiert werden. Einen solchen Ansatz bietet die Tikhonov-
Regularisierung, die die Berechnung einer approximativen Lösung der Gleichung erlaubt [77,
79]. Es gilt
⎛ i H
1 ⎞ ⎛ x,1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−1
⎜
T
T
⋮ ⎟ = RW
⋅
⎜ ⋮ ⎟
mit RW
= ( α ⋅ E + W ⋅W
) ⋅W
Gl. 3.10
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝i
H
m ⎠ ⎝ x,
n ⎠
R
W
bezeichnet die Tikhonov-Inverse, α den Regularisierungsparameter und E die Einheitsmatrix.
Dadurch, dass die L2-Norm R
−1
W
im Gegensatz zu der Norm W endlich ist, werden
die Datenfehler durch R
W
stärker gedämpft. Durch die Verwendung der Approximation R
W
entsteht allerdings ein Regularisierungsfehler, der zu einer Glättung der Stromverteilung führt.
In der Regel muss der Regularisierungsparameter α so gewählt werden, dass die Summe aus
Daten- und Regularisierungsfehler minimal wird [78].
Der Fehler zwischen der berechneten und der tatsächlich in der Brennstoffzelle vorliegenden
Stromdichteverteilung hängt stark von der räumlichen Auflösung des Verfahrens ab. Eine
erhöhte Auflösung verstärkt in der Regel die Instabilität des Gleichungssystems und hat somit
einen größeren Fehler zur Folge. Weiterhin ist der Fehler abhängig von:
- der Anordnung und Anzahl der Messpunkte relativ zu der Brennstoffzelle
- dem Messfehler bei der Positionsbestimmung der Messpunkte relativ zu der Brennstoffzelle
- dem Messfehler in den magnetischen Flussdichtedaten
- der Diskretisierung des Messobjekts
- dem verwendeten Regularisierungsverfahren zur Stabilisierung des schlecht gestellten
Gleichungssystems
- den Nebenbedingungen, die bei der Rekonstruktion der Stromdichteverteilung Berücksichtigung
finden
Nebenbedingungen, die bei dem derzeitigen Entwicklungsstand der Magnetotomographie noch
nicht in den Algorithmus integriert sind, sind beispielsweise die Divergenzfreiheit in dem diskretisierten
Messobjekt oder eine Stromrichtungsbedingung. Als Richtungsbedingung ist die Annahme
bezeichnet, dass entgegen der Hauptstromrichtung, also orthogonal zu der Membran,
keine Ströme fließen.