View/Open - JUWEL - Forschungszentrum Jülich

54 3 Messaufbauten und Messmethoden
Die Gesamtfeldstärke in dem Messpunkt n ergibt sich aus der Superposition der entsprechenden
Magnetfeldkomponenten aller Einzelströme
H
H
x,
n
y,
n
=
=
∑
m
∑
m
H
H
m
x,
n
m
y,
n
Gl. 3.7
Die folgende Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen Einzelströmen und Magnetfeld in
Matrixform dar. Beispielhaft ist dazu die Magnetfeldkomponente in x-Richtung ausgewählt.
⎛ H
x
⎜
⎜
⎜ ⋮
⎜
⎜
⎜
⎝ H
x
,1
, n
⎞ ⎡w
⎟ ⎢
⎟ ⎢
⎟
= ⎢ ⋮
⎟ ⎢
⎟ ⎢
⎟ ⎢
⎠ ⎣wn
1,1
,1
...
...
w1,
m ⎤ ⎛ i1
⎞
⎥ ⎜ ⎟
⎥ ⎜ ⎟
⋮ ⎥ ⋅ ⎜ ⋮ ⎟
⎥ ⎜ ⎟
⎥ ⎜ ⎟
w ⎥ ⎜ ⎟
n,
m ⎦ ⎝im
⎠
⇔
⎛ H
x
⎜
⎜
⎜ ⋮
⎜
⎜
⎜
⎝ H
x
⎞ ⎛ i1
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
= W ⋅ ⎜ ⋮
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝im
,1
, n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Gl. 3.8
Die Matrix W mit den Elementen w
n , m
enthält die geometrischen Abhängigkeiten, über die die
Einzelströme mit den Magnetfelddaten an den entsprechenden Messpositionen in Verbindung
stehen.
Die in Brennstoffzellen vorherrschenden Verhältnisse erfordern eine dreidimensionale Betrachtung
der Magnetfeldverteilung. Aufgrund der endlich langen, dreidimensional verlaufenden
Stromfäden in den Zellen erfolgt die Magnetfeldberechnung im Raum über das Biot-Savart’sche
Gesetz.
H x
( )
i( y) × ( x − y)
= ds( y)
Gl. 3.9
3
x − y
∫
Ω
Ω bezeichnet das stromdurchflossene Raumgebiet. Auch Gleichung 3.9 lässt sich entsprechend
Gleichung 3.8 in Matrixform darstellen.
Die Magnetotomographie erlaubt, auf die unbekannten Ströme in einer Brennstoffzelle durch
die von ihnen erzeugten magnetischen Felder zurückzuschließen. Um beispielsweise die in Bild
3.9 gezeigten 36 unbekannten Einzelströme aus Magnetfelddaten zu rekonstruieren, werden
mindestens 36 gemessene magnetische Feld- beziehungsweise Flussdichtedaten benötigt. Da
an jeder Messstelle im zweidimensionalen Fall jeweils die x- und y-Komponente der Flussdichte
ermittelt werden, sind demnach mindestens 18 verschiedene Messpositionen notwendig. Sind
die Magnetfelddaten mit den entsprechenden Messpositionen relativ zu den Flächenelementen
bekannt, kann Gleichung 3.8 nach den Strömen in den Elementen aufgelöst werden. Bei
Gleichung 3.8 handelt es sich um eine Integralgleichung erster Art mit analytischem Kern, die
im Sinne von Hadamard [76] „schlecht gestellt“ ist. Dies bedeutet, dass die Lösung der
Gleichung im Allgemeinen nicht eindeutig und instabil ist. So besteht die Möglichkeit, dass sich
die Magnetfelder bestimmter Stromdichten in der Brennstoffzelle gegenseitig kompensieren, so
dass sie kein äußeres messbares Magnetfeld erzeugen. Diese auf Null abgebildeten Stromdichten
können nicht rekonstruiert werden. Numerische Experimente zeigen, dass diese „nichtsichtbaren“
Stromdichten die grundsätzliche Realisierbarkeit der magnetischen Tomographie