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5.2. HERRAMIENTA MATEMÁTICA 88con g 2 G:De manera similar se de…ne ;z sustituyendo z por z. Si g satisface(5.1) es integrable.Demostración. Haciendo uso de (g 1 ) ;x =g 1 g ;x g 1 y calculando ;zz , tenemos ;zz = 1 4 tr (g ;z g 1 g ;z g 1 ) ;z ;z= 1 4 tr 1 ;z(g ;z g 1 ) ;z g ;z g 1 ) + 1 ;zg ;z g 1 g ;zz g 1===1 ;zg ;z g 1 g ;z g 1 g ;z g 1 ;zz( ;z ) g ;zg 1 g 2 ;z g 114 ;ztr (g ;z g 1 ) ;z + g ;zz g 1 g ;z g 1 g ;z g 1 ) g ;z g 114 ;ztr (g ;z g 1 ) ;z + (g ;z g 1 ) ;z ;z g ;z g 1 ) g ;z g 114 tr(g ;zg 1 g ;z g 1 ) = ;zzAhora que hemos introducido las ecuaciones quirales, presentaremos las herramientasmatemáticas necesarias para el método de solución para las mismas.5.2. Herramienta MatemáticaSea G el álgebra correspondiente al grupo de Lie G; de…nimos la forma deMaurer-Cartan ! g de G como! g = L g 1 (g) (5.3)
5.2. HERRAMIENTA MATEMÁTICA 89que es la 1-forma sobre G con valores en G, es decir, ! g 2 T g GG. Debemos de…nirL de manera conveniente para que los elementos de G preserven sus propiedades.De…nimos los mapeosDe…nición 5.2.1. Sea G un grupo de Lie y G su álgebra correspondiente,de…nimos los mapeos del grupo a su álgebra comoA z : G * G (5.4)g * A z (g) = g ;z g 1 (5.5)A z : G * G (5.6)g * A z (g) = g ;z g 1 (5.7)Si g está dada en una representación de G, es posible escribir la 1-forma!(g) = ! g como! = A z dz + A z dz (5.8)Ahora podemos de…nir una métrica en G de manera estándar.De…nición 5.2.2. Debido a que ! g puede escribirse como (5.8), el tensorl = tr(dgg 1 dgg 1 ) (5.9)en G de…ne una metrica en el haz tangente de G.
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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1.2. TEORíA DE CUERDAS 17donde es
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