INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 42esta propiedad es independiente de la elección de la carta. Si con todas las cartasocurre ésto, entonces todo el atlas es C kcompatible: Un caso importante es laC 1 compatibilidad: En este caso, las cartas C 1 compatibles cubren el dominio,X; el atlas que contiene todas las cartas C 1 compatibles, es un C 1 atlasmaximal, y éste de…ne una estructura diferenciable en X:Con los conceptos anteriores de…nidos, podemos decir que una variedad C 1diferenciable es una variedad topológica M con una estructura diferenciable; estrictamentehablando es una variedad en la cual los mapeos ' ' 1en abiertosson diferenciables [26, 27].En términos simples, podemos decir que una variedad es la generalización deideas como curvas y super…cies, en objetos de dimensión arbitraria.En otraspalabras podemos decir que son espacios topológicos que localmente pueden sertratados como R n .De…nición 2.5.10. Una variedad (topológica) es un espacio de Hausdor¤ (M n ; T M n),tal que cada punto tiene una vecindad homeomór…ca a R n .Es decir, para todop 2 M n existe c = (U p ; '; V ); donde U p 2 T M n y ' : U p ! V es un homeomor…smo.De…nición 2.5.11. Una variedad M es diferenciable si(1) M es un espacio topológico,(2) M tiene una familia f(U i ; ' i )g,(3) fU i g es una familia de abiertos que cubre a M: ' i es un homeomor…smode U i a un abierto de R n .