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5.3. MAPEOS ARMÓNICOS 98con lo cual (G; G c ; L) y (G c U ; G c ; ) son isomór…cos.El teorema anterior implica que es su…ciente con hallar el conjunto B (5.19)para de…nir todo el grupo de Lie G, dependiente de i ; i = 1; :::; p: A continuaciónse presenta el algoritmo para el método de mapeos armónicos.Algoritmo 1. Mapeos Armónicos(1) Dadas las ecuaciones quirales bajo un grupo de Lie G, tomar un espacioRiemanniano simétrico V p ; con métrica inducida i l y d vectores de Killingcuya dimensión cumpla p n = dim G:(2) Encontrar una representación matricial del álgebra G compatible con larelación de conmutación de los vectores de Killingr b A a (g) = 1 2 [A a; A b ] (g):(3) Escribir las matrices A a (g) en términos de los parámetros geodésicos i ;i = 1; :::; p:(4) Utilizar la proposición (5.3.1) para eligir las clases de equivalencia fA i gy sus representantes de clase.(5) Mapear los representantes del álgebra a su grupo, por medio del mapeoexponencial.Todas las soluciones se podran construir haciendo uso de la acciónizquierda del grupo G c sobre el grupo G:
CAPÍTULO 6SOLUCIÓN PARA LA TEORÍA EMDA PARASUBESPACIOS 1-DIMENSIONALESLos subespacios 1-dimensionales son los más simples de tratar y al mismotiempo son los más ricos, de ahí que valga la pena estudiarlos a profundidad.Al contar únicamente con una dimensión, tienen un vector de Killing, por lo tantola ecuación de Killing (5.17) se reduce ag ; =Ag; (6.1)donde es el parámetro de solución a la ecuación de Laplace en una dimensión( ;z ) ;z + ( ;z ) ;z = 0; (6.2)y A 2 sp(4; R).Aquí es conveniente usar los invariantes de la acción izquierdadel grupo.Por lo cual es más fácil trabajar con un representante de la clase deequivalencia de A.Según el método de mapeos armónicos, visto en el capítulo anterior, para hallarlas soluciones para este subespacio, se requiere conocer los representantes de clasedel álgebra de Lie, ya que si B 2 sp(4; R) tenemos que C = B A B 1 satisface99
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RESUMENUsando el método de mapeos
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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CAPÍTULO 2GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y
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2.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y E
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