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2.3. ESPACIOS VECTORIALES 32Existe también el espacio vectorial dual, el cual puede ser de…nido comoDe…nición 2.3.2. Sea f : V! K una función lineal y fe i g una base, sitomamos un vector arbitrariov = v 1 e 1 + ::: + v n e n ; (2.20)por la linearidad de f; tenemosf(v) = v 1 f(e 1 ) + ::: + v n f(e n ); (2.21)así al conocer f(e i ) para toda i, podemos conocer el resultado de la aplicación def a cualquier vector. Además, la combinación lineal de dos funciones es tambiénlineal(a 1 f i + a 2 f 2 )(v) = a 1 f 1 (v) + a 2 f 2 (v); (2.22)este espacio es llamado el espacio vectorial dual a V y se denota por V :Si introducimos una base fe i g de V , como e i es una función lineal, estácompletamente especi…cada por e i (e j ) para toda j:Sea entonces la base duale i (e j ) = i j: (2.23)Entonces, cualquer función lineal f; es decir un vector dual, puede expandirse entérminos def = f i e i : (2.24)
2.4. TENSORES Y P-FORMAS 33La acción de f en v es el producto interno entre un vector columna y un vector…laf(v) = f i e i (v j e j ) = f i v j e i (e j ) = f i v i : (2.25)La notación que se utiliza para de…nir el producto interno esh ; i : V V ! K: (2.26)2.4. Tensores y p-formasFinalmente daremos un breve repaso de los tensores, los cuales son objetosmultilineales que mapean vectores y vectores duales a un escalar.De…nición 2.4.1. Un tensor de tipo (p; q) es un mapeo multilineal, el cual eslineal en cada una de sus entradas, que lleva un vector dual p 2 V y un vectorq 2 V a R.Matemáticamente,T : V V ! R; (2.27)como sus entradas son linealesT (! 1 ; :::; ! r ; + !; 2 ; :::; s ) = T (! 1 ; :::; ! r ; ; 2 ; :::; s )+T (! 1 ; :::; ! r ; !; 2 ; :::; s ); (2.28)se cumple para cada una de sus entradas 2 .2 Debemos notar que T a1:::arb 1:::b s= T (e a1 ; :::; e ar ; e b1 ; :::; e bs ):
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