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3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 68Es fácil ver que se cumple(0) = e; (3.17) 1 (t) = ( t): (3.18)Una característica importante, es que existe una correspondencia 1 a 1, entreel subgrupo 1-paramétrico de G y el campo vectorial invariante por la izquierda.Esta correspondencia nos permite de…nir el mapeo exponencial:De…nición 3.2.5. Sea G un grupo de Lie y V 2 T e G: El mapeo exponencialexp : T e G ! G; (3.19)es de…nido comoexp V = V (1); (3.20)donde Ves un subgrupo 1-paramétrico de G generado por el campo vectorial invariantepor la izquierdaX V j g = dL g V: (3.21)Como el álgebra de Lie es un espacio vectorial, podemos introducir algunosde los conceptos que los describen: dimensión, base, producto interno.Comoya habiamos mencionado anteriormente para el grupo de Lie, la dimensión delálgebra de Lie es igual a la dimensión de la variedad que parametriza a su grupo.Supongamos que la dimensión es n, entonces es posible elegir n vectores linealmente
3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 69independientes en el álgebra de Lie -una base para el espacio vectorial lineal- y conellos expandir cualquier g. Sea fV 1 ; :::; V n g base de T e G, ésta de…ne un conjunto decampos vectoriales linealmente independientes fX 1 ; :::; X n g en cada punto g 2 Gpor medio de X j g = dL g V : Debido a la cerradura del álgebra bajo la acción delparéntesis de Lie, tenemos que [X ; X ]j g un elemento de g, puede ser expandidoen términos de fX 1 ; :::; X n g, como[X ; X ] = c X ; (3.22)con c las constantes de estructura del grupo de Lie G 1 .En cierto sentido, lasconstantes de estructura determinan el grupo de Lie completamente.De manera similar a como proponemos la base fX g, podemos introducir labase dual f g, para la cual tenemosh ; X i = ; (3.23)La base f g T G es una base para las 1-formas invariantes por la izquierda.Proposición 3.2.1. La base dual f g cumple con la ecuación de estructurade Maurer-Cartan [10]d = 1 2 c ^ : (3.24)1 Las cuales están determinadas en e 2 G:
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RESUMENUsando el método de mapeos
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ContenidoINTRODUCCIÓNiiiCAPÍTULO
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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