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2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 46Supongamos, tenemos dos cartas de M; (U; ') y (U 0 ; ' 0 ), cada una con su basecorrespodiente, la regla de transformación será@@x = @x0j @; (2.50)i @x i @x0j que corresponde con una transformación tensorial del tipo (1; 0):Consideremos ahora, los espacios duales a T x M denotados T x M: Éstos, llamadosespacios cotangentes, son todas las funciones lineales de la forma! : T x M ! R; (2.51)análogamente a los espacios tangentes, éstos puede ser provistos de una estructuravectorial.Para cualquier v 2 T x M, denotamos como !(v) o h!; xi a su imagen en R.Para toda función f suave en un punto x, de…nimos un único elemento df 2 Tx Mpor medio dehdf; vi = vf: (2.52)Identi…cando el vector v con una vector coordenado @ ihdf; @ i i = @ i f; (2.53)y expresando df en términos de las coordenadas x jdx j ; v = vx j = v j ; (2.54)
2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 47considerando ahora, que el términos dx j selecciona la componente jesima, para@ i ; tenemos de (2.52)dx j ; @ i= @i x j = i j: (2.55)Entonces, los elementos dx j de T M forman una base para el espacio cotangente.De…nición 2.5.16. El producto internoh ; i : T M T M ! R; (2.56)está de…nido porh!; V i = ! V dx ;@= !@x V :Con lo cual, cualquier elemento ! 2 T M puede representarse como! = ! j dx j ; (2.57)y df = @f@x j dx j :Los elementos del espacio cotangente T x M, reciben el nombrede covectores o 1 formas (es decir, una forma diferencial de grado 1). Éstasobedecen una ley transformación para tensores (1; 0), similar a la transformación delos vectores 6 . Si tenemos un elemento en la intersección de los abiertos p 2 U i \U j ,tenemos que la ley de transformación que satisfacen es6 Vectores tangentes.! 0 @x = ! : (2.58)@x0
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