INSTITUTO POLITÃCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...
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3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 71Demostración. Sea Y = Y X 2 T g G, don<strong>de</strong> fX g es la base invariante por laizquierda <strong>de</strong> T G; es <strong>de</strong>cirX g j e = dL g j e V : (3.29)De la <strong>de</strong>…nición <strong>de</strong> la forma <strong>de</strong> Maurer-Cartan!(Y ) = Y !(X ) = Y dL g 1j g (X j g ) = Y dL g 1j g (dL g V )j e (3.30)= Y d(L g 1 L g )j e V = Y V ; (3.31)Ahora calculamos la parte <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> (3.28)V (Y ) = Y V (X ) = Y V = Y V ; (3.32)con lo que se <strong>de</strong>muestra el teorema.Teorema 3.2.2. La 1-forma canónica satisfaced + 1 [ ^ ] = 0; (3.33)2con [ ^ ] = [V ; V ] ^ :Demostración. Tenemos <strong>de</strong> (3.28) d = V d y [ ^ ] = [V ; V ] ^ :De la ecuación <strong>de</strong> estructura d =1 2 c ^