INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

5.2. HERRAMIENTA MATEMÁTICA 90Con la métrica ya de…nida es posible dar la conexión y el tensor de curvaturacorrespondiente.Lema 5.2.1. Sea G un grupo de Lie y A z (g); A z (g) según la de…nición 1; lamétrica l está dada por la de…nición anterior, con derivada covariante r: Entoncesr a A b r b A a = [A b; A a ]Demostración. Tenemos que A a (g) = g ;a g 1 ; con lo cualr a A b r b A a = A b;a A a;bcab A c + c baA c= (g ;b g 1 ) ;a (g ;a g 1 ) b= g ;ba g 1 g ;b g 1 g ;a g 1 g ;ab g 1 + g ;a g 1 g ;b g 1= A a A b A b A a = [A b; A a ]En la demostración anterior, usamos el hecho de quecab = c ba:Para el teorema siguiente es necesario, dar la de…nición para un espacio simétricoDe…nición 5.2.3. Sea M una variedad paracompacta con métrica l. Se diceque el espacio M es simétrico si el tensor de Riemman R derivado de l cumpleconrR = 0;