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3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 70Demostración. Tenemosd (X ; X ) = X ( (X )) X ( (X )) ([X ; X ])= X ( ) X ( ) (c X )= c ; (3.25)y de12 c ^ (X ; X ) = c : (3.26)comoPodemos de…nir una 1-forma ! g 2 T g G ! T e G, evaluada en el álgebra de Lie! g : T g G ! T e GX ! ! g (X) = dL g 1j g X (3.27)donde ! g es la 1-forma canónica o forma de Maurer-Cartan en G.Teorema 3.2.1. La forma de Maurer- Cartan se puede expandir como! = V ; (3.28)con fV g base de T e G y f g base de T e G:[25]
3.2. ÁLGEBRAS DE LIE 71Demostración. Sea Y = Y X 2 T g G, donde fX g es la base invariante por laizquierda de T G; es decirX g j e = dL g j e V : (3.29)De la de…nición de la forma de Maurer-Cartan!(Y ) = Y !(X ) = Y dL g 1j g (X j g ) = Y dL g 1j g (dL g V )j e (3.30)= Y d(L g 1 L g )j e V = Y V ; (3.31)Ahora calculamos la parte derecha de (3.28)V (Y ) = Y V (X ) = Y V = Y V ; (3.32)con lo que se demuestra el teorema.Teorema 3.2.2. La 1-forma canónica satisfaced + 1 [ ^ ] = 0; (3.33)2con [ ^ ] = [V ; V ] ^ :Demostración. Tenemos de (3.28) d = V d y [ ^ ] = [V ; V ] ^ :De la ecuación de estructura d =1 2 c ^
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ContenidoINTRODUCCIÓNiiiCAPÍTULO
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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1.2. TEORíA DE CUERDAS 17donde es
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