INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 46Supongamos, tenemos dos cartas de M; (U; ') y (U 0 ; ' 0 ), cada una con su basecorrespodiente, la regla de transformación será@@x = @x0j @; (2.50)i @x i @x0j que corresponde con una transformación tensorial del tipo (1; 0):Consideremos ahora, los espacios duales a T x M denotados T x M: Éstos, llamadosespacios cotangentes, son todas las funciones lineales de la forma! : T x M ! R; (2.51)análogamente a los espacios tangentes, éstos puede ser provistos de una estructuravectorial.Para cualquier v 2 T x M, denotamos como !(v) o h!; xi a su imagen en R.Para toda función f suave en un punto x, de…nimos un único elemento df 2 Tx Mpor medio dehdf; vi = vf: (2.52)Identi…cando el vector v con una vector coordenado @ ihdf; @ i i = @ i f; (2.53)y expresando df en términos de las coordenadas x jdx j ; v = vx j = v j ; (2.54)