INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 44es suave.A la función F se le llama función recíproca o pull-back, la diferenciabilidadde la función se ve re‡ejada en ésta, es importante notar que el pull-back, va de lavariedad a los reales.Visto lo anterior, podemos introducir la noción de espacio tangente T p M enun punto p de una variedad diferenciable M.Con ellos es posible construir unespacio vectorial en cada punto de la variedad.De…nición 2.5.15. Sea M una variedad diferenciable y x 2 M.Un vectortangente a M en x; es una funciónv x : C 1 x ! R; (2.47)tal que para una carta que contenga a x, existe (a 1 ; :::; a n ) 2 R n y se cumplev x (f) = a i @@r (f 1 )j i (x) (2.48)para toda función f suave en una vecindad de x, en la variedad.El conjunto de todos los vectores tangentes se denota por T x M y es el espaciotangente en x:De la de…nición notamos que los vectores tangentes corresponden a una derivada,por ello deben cumplir con la siguiente proposiciónProposición 2.5.1. Al ser v x 2 T x M una derivación, debe satisfacer