INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Instituto Avanzado de ...

2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 39La importancia de las de…niciones anteriores, se verá en el siguiente teorema,para el cual es necesario de…nirDe…nición 2.5.7. Un espacio métrico es un conjunto X junto con un mapeod : X X ! R; (2.36)tal que d(x; y) 0; d(x; y) = 0 si y solo si x = y; d(x; y) = d(y; x); d(x; z) d(x; y) + d(y; z);este mapeo es la métrica, la distancia entre los puntos x y y 4 .Teorema 2.5.1. Todos los espacios métricos son paracompactos.Al tratar con mapeos en los cuales el dominio y el rango son espacios topológicos,podemos de…nir nociones de continuidad. En este caso decimos que un mapeof : M! N es continuo si para cada conjunto abierto G N el conjuntof 1 (G) M es abierto. Una biyección f : M ! N es un homeomor…smo sif y f 1 son continuos; es decir M y N son homeomór…cos.En otras palabras,dos espacios topológicos son homeomór…cos si es posible "deformar" uno de elloscontinuamente en el otro, es decir, sin romperlos o pegarlos.La existencia de4 Sobre los espacios métricos es importante notar que, todos ellos son espacios topológicos.