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5.2. HERRAMIENTA MATEMÁTICA 90Con la métrica ya de…nida es posible dar la conexión y el tensor de curvaturacorrespondiente.Lema 5.2.1. Sea G un grupo de Lie y A z (g); A z (g) según la de…nición 1; lamétrica l está dada por la de…nición anterior, con derivada covariante r: Entoncesr a A b r b A a = [A b; A a ]Demostración. Tenemos que A a (g) = g ;a g 1 ; con lo cualr a A b r b A a = A b;a A a;bcab A c + c baA c= (g ;b g 1 ) ;a (g ;a g 1 ) b= g ;ba g 1 g ;b g 1 g ;a g 1 g ;ab g 1 + g ;a g 1 g ;b g 1= A a A b A b A a = [A b; A a ]En la demostración anterior, usamos el hecho de quecab = c ba:Para el teorema siguiente es necesario, dar la de…nición para un espacio simétricoDe…nición 5.2.3. Sea M una variedad paracompacta con métrica l. Se diceque el espacio M es simétrico si el tensor de Riemman R derivado de l cumpleconrR = 0;
5.2. HERRAMIENTA MATEMÁTICA 91donde r es la derivada covariante de M compatible con l.Con el siguiente teorema, se predice la existencia de soluciones a las ecuacionesquirales (5.1)Teorema 5.2.1. El conjunto S G de soluciones de las ecuaciones quirales(5.1) es una subvariedad diferencial de G, que es simétrica con métrica l; dada enla de…nición 5.2.2.Demostración. Se dará únicamente un esbozo de la demostración.Tomandola parámetrización a con a = 1; 2; :::n sobre G: El conjunto f a g es un sistemacoordenado de la variedad G n-dimensional.Considerando esta parametrizaciónla forma de Maurer-Cartan ! es! = A a d a ;con A a = ( @@ a g)g 1 : Con ésto, las ecuaciones quirales pueden escribirse comor a A b (g) + r b A a (g) = 0; (5.10)con r a la derivada covariante dada por la métricar a A b = A b;acab A c ;lo cual satisface (5.10), ya que los coe…cientes de conexión son simétricos.
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ContenidoINTRODUCCIÓNiiiCAPÍTULO
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INTRODUCCIÓNMuchos son los misteri
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INTRODUCCIÓNvEn este trabajo, pres
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