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2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 42esta propiedad es independiente de la elección de la carta. Si con todas las cartasocurre ésto, entonces todo el atlas es C kcompatible: Un caso importante es laC 1 compatibilidad: En este caso, las cartas C 1 compatibles cubren el dominio,X; el atlas que contiene todas las cartas C 1 compatibles, es un C 1 atlasmaximal, y éste de…ne una estructura diferenciable en X:Con los conceptos anteriores de…nidos, podemos decir que una variedad C 1diferenciable es una variedad topológica M con una estructura diferenciable; estrictamentehablando es una variedad en la cual los mapeos ' ' 1en abiertosson diferenciables [26, 27].En términos simples, podemos decir que una variedad es la generalización deideas como curvas y super…cies, en objetos de dimensión arbitraria.En otraspalabras podemos decir que son espacios topológicos que localmente pueden sertratados como R n .De…nición 2.5.10. Una variedad (topológica) es un espacio de Hausdor¤ (M n ; T M n),tal que cada punto tiene una vecindad homeomór…ca a R n .Es decir, para todop 2 M n existe c = (U p ; '; V ); donde U p 2 T M n y ' : U p ! V es un homeomor…smo.De…nición 2.5.11. Una variedad M es diferenciable si(1) M es un espacio topológico,(2) M tiene una familia f(U i ; ' i )g,(3) fU i g es una familia de abiertos que cubre a M: ' i es un homeomor…smode U i a un abierto de R n .
2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 43(4) Sea U i y U j , tales que U i \ U j 6= ;; el mapeo ij = ' i ' 1j es C 1diferenciable.Para trabajar con las variedades es posible utilizar el cálculo usual, con laventaja de que éste será independiente de las coordenadas elegidas. De…namos ladiferencial sobre una variedadDe…nición 2.5.12. Sea f : M! R sobre una variedad M: f es diferenciableen la variedad si dada una carta en x,f ' 1 ; (2.45)es diferenciable en '(x):De…nición 2.5.13. Se dice que f es un difeomor…smo si es una biyección; conf y f 1 continuamente diferenciables.Un difeomor…smo es a las variedades diferencianbles, lo que un homeomor…smoa los espacios topológicos.Podemos extender la de…nición anterior (2.5.12) paratratar ahora con funciones vectoriales.De…nición 2.5.14. Sea M y N variedades. F : M ! N es suave 5 , si paratoda f suave sobre N en los reales5 DiferenciableF (f) = f F; (2.46)
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