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2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 44es suave.A la función F se le llama función recíproca o pull-back, la diferenciabilidadde la función se ve re‡ejada en ésta, es importante notar que el pull-back, va de lavariedad a los reales.Visto lo anterior, podemos introducir la noción de espacio tangente T p M enun punto p de una variedad diferenciable M.Con ellos es posible construir unespacio vectorial en cada punto de la variedad.De…nición 2.5.15. Sea M una variedad diferenciable y x 2 M.Un vectortangente a M en x; es una funciónv x : C 1 x ! R; (2.47)tal que para una carta que contenga a x, existe (a 1 ; :::; a n ) 2 R n y se cumplev x (f) = a i @@r (f 1 )j i (x) (2.48)para toda función f suave en una vecindad de x, en la variedad.El conjunto de todos los vectores tangentes se denota por T x M y es el espaciotangente en x:De la de…nición notamos que los vectores tangentes corresponden a una derivada,por ello deben cumplir con la siguiente proposiciónProposición 2.5.1. Al ser v x 2 T x M una derivación, debe satisfacer
2.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y VARIEDADES DIFERENCIALES 45 v x (f + g) = v x (f) + v x (g); v x (f) = v x (f); v x (fg) = v x (f)g(x) + f(x)v x (g)donde f; g son C 1 x en x 2 M y 2 R:De la de…nición, podemos ver que cualquier vector v x2 T x M admite unarepresentaciónv x = a i @@x ; (2.49)idonde@(f 1 ) @r i (x)=para el espacio tangente en x: @ x (f):@x iEntonces el conjunto @@x i xes una baseProposición 2.5.2. La estructura (R; T x M; +; ) es un espacio vectorial dedimensión n; con (v x + w x )(f) = v x (f) + w x (f) (v x )(f) = v x (f) @ xcon base coordenada@xi=1;::;niAl tener una base coordenada, es posible tener el sistema de coordenadas. Enel caso de variedades podemos hacer ésto utilizando los homeomor…smos.Así,al cambiar un homeomor…smo de la variedad a los reales, estamos cambiando elsistema coordenado utilizado.
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